腾讯课堂目标2017初中数学联赛集训队作业题解答-6

 

课程链接：目标2017初中数学联赛集训队-1（赵胤授课）

 

 

1. $ABCDE$ 为凸五边形, $AD$ 是对角线, 若 $\angle{EAD} > \angle{ADC}$, $\angle{EDA} > \angle{DAB}$, 求证: $AE + ED > AB + BC + CD$.

解答:

取 $AD$ 中点 $O$, 分别作 $B$, $C$ 关于 $O$ 之中心对称点 $B_1$, $C_1$, 延长 $AC_1$, $DB_1$ 交于 $P$.

$$AB + BC + CD = AC_1 + C_1B_1 + B_1D < AP + PD < AE + ED.$$

 

 

2. 凸四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$, $BD$ 相交于 $O$, 且 $AC\perp BD$, 若 $OA > OC$, $OB > OD$, 求证: $BC + AD > AB + CD$.

解答:

分别作 $C$, $D$ 关于 $O$ 之中心对称点 $C_1$, $D_1$, 连结 $C_1B$, $D_1A$ 交于 $E$.

$$CD + AB = C_1D_1 + AB < (EC_1 + ED_1)+(EA + EB) = BC_1 + AD_1 = BC + AD.$$

 

 

3. $\triangle{ABC}$ 中, $AB = AC$, $P$ 是三角形内一点, 若 $\angle{APB} < \angle{APC}$, 求证: $\angle{PBC} < \angle{PCB}$.

解答:

将 $\triangle{APB}$ 绕 $A$ 点逆时针旋转至 $\triangle{AP_1C}$, 连结 $P_1P$.

$$\angle{APB} < \angle{APC} \Rightarrow \angle{AP_1C} < \angle{APC} \Rightarrow \angle{PP_1C} < \angle{P_1PC}$$ $$\Rightarrow PC < P_1C = PB \Rightarrow \angle{PBC} < \angle{PCB}.$$

 

 

4. 设 $\triangle{ABC}$ 三个内角分别为 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. 求证: $$a\alpha + b\beta + c\gamma \ge {1\over 2}(b\alpha + c\alpha + a\beta + c\beta + a\gamma + b\gamma).$$ 解答: $$a\alpha + b\beta + c\gamma \ge {1\over 2}(b\alpha + c\alpha + a\beta + c\beta + a\gamma + b\gamma)$$ $$\Leftrightarrow 2a\alpha + 2b\beta + 2c\gamma \ge b\alpha + c\alpha + a\beta + c\beta + a\gamma + b\gamma$$ $$\Leftrightarrow \alpha(a-b) + \beta(b - a) + \alpha(a - c) + \gamma(c - a) + b(\beta - \gamma) + c(\gamma - \beta) \ge 0$$ $$\Leftrightarrow (a-b)(\alpha - \beta) + (c-a)(\gamma - \alpha) + (b-c)(\beta - \gamma) \ge 0$$ 最后一个不等式依据大边对大角显然成立.

 

 

5. 已知锐角三角形 $ABC$ 的角平分线 $AD$, 中线 $BM$, 高线 $CH$ 交于一点. 证明: $\angle{BAC} > 45^\circ$.

解答:

假设 $\angle{BAC} \le 45^\circ$, 作中线 $CP$ 交 $AB$ 于 $P$, 交 $BM$ 于 $K$.

$$\angle{BAC} \le 45^\circ \Rightarrow \angle{ACH} \ge 45^\circ\Rightarrow \angle{BCH} < 45^\circ \Rightarrow \angle{ABC} > 45^\circ \ge \angle{BAC}\Rightarrow AC > BC.$$ 由此可知 $P$ 点在 $AH$ 上. 而 $${AH\over AC} = {OH \over OC} < {PK \over CK} = {1\over2} \Rightarrow \cos\angle{BAC} < {1\over2}\Rightarrow \angle{BAC} > 60^\circ.$$ 矛盾!

因此 $\angle{BAC} > 45^\circ$.

 

 

6. 在 $\triangle{ABC}$ 中, 点 $D$ 是 $AB$ 的中点, $E$, $F$ 分别在 $AC$, $BC$上. 求证: $\triangle{DEF} \le \triangle{ADE} + \triangle{BDF}.$

解答:

倍长 $ED$ 至 $E_1$, 连结 $E_1F$, $E_1B$.

$$\triangle{ADE} + \triangle{BDF} = S_{E_1BFD} \ge \triangle{DE_1F} = \triangle{DEF}.$$ 当且仅当 $B = F$ 或 $E = A$ 时取等号.

 

 

7. 在 $\angle{AOB}$ 的边 $OA$ 上依次有点 $A_1$, $A_2$, 边 $OB$ 上依次有点 $B_1$, $B_2$. 求证: $$OA_1\cdot OB_1 + OA_2\cdot OB_2 > OA_1\cdot OB_2 + OA_2\cdot OB_1.$$ 解答:

$$OA_1\cdot OB_1 + OA_2\cdot OB_2 > OA_1\cdot OB_2 + OA_2\cdot OB_1$$ $$\Leftrightarrow {1\over2}OA_1 \cdot OB_1\cdot\sin\alpha + {1\over2}OA_2\cdot OB_2\cdot\sin\alpha > {1\over2}OA_1\cdot OB_2\cdot\sin\alpha + {1\over2}OA_2\cdot OB_1\cdot\sin\alpha$$ $$\Leftrightarrow \triangle{OA_1B_1} + \triangle{OA_2B_2} > \triangle{OA_1B_2} + \triangle{OA_2B_1}$$ $$\Leftrightarrow \triangle{OA_1B_1} + \triangle{OA_2B_2} - \triangle{OA_1B_2} - \triangle{OA_2B_1} > 0$$ $$\Leftrightarrow S_{A_1B_1B_2A_2} - \triangle{A_1B_1A_2} - \triangle{A_1B_1B_2} > 0$$ $$\Leftrightarrow \triangle{A_2B_1B_2} - \triangle{A_1B_1B_2} > 0.$$ 最后一个不等式显然成立.