腾讯课堂目标2017初中数学联赛集训队作业题解答-4

 

课程链接：目标2017初中数学联赛集训队-1（赵胤授课）

 

 

1、$AD$ 为 $\triangle{ABC}$ 中 $BC$ 边上的中线, $G$ 为重心, 过 $G$ 引直线与 $AC, AB$ 分别交于 $E, F$, 求证: $${BF \over AF} + {CE \over AE} = 1.$$

解答:

通过平行构造比例. 作 $BM\parallel AD$ 交 $EF$ 于 $M$, $CN \parallel AD$ 交 $EF$ 于 $N$. 易知, $MBCN$ 是梯形, 且 $DG$ 是中位线. 于是有 $${BF \over AF} + {CE \over AE} = {BM \over AG} + {CN \over AG} = {BM + CN \over AG} = {2GD \over AG} = 1.$$

 

2. 设 $\triangle{ABC}$ 的底边 $BC$ 之长度, 位置与 $\angle{B}$ 的大小一定, 求 $\triangle{ABC}$ 重心的轨迹.

解答:

取 $AB$ 中点 $M$, $BC$ 中点 $E$.

易知 $G$ 是 $CM$ 与 $AE$ 之交点. 若过 $G$作$GD \parallel AB$ 交 $BC$ 于$D$, 则 $${BD\over DC} = {1\over 3},\ {BD \over DE} = {2}.$$ 由已知 $BC$ 长度确定, 即 $BD$ 长度确定, 即 $D$ 是定点. 因此其重心 $G$ 的轨迹为:

过 $D$ 点与 $AB$ 平行的射线 $DX$, 但不包括 $D$ 点.

(图中红线即为重心之轨迹, 蓝色线段表示另外一个 $\triangle{A^\prime BC}$ 之重心 $G^\prime$)

 

 

3. 过两定点 $A, B$ 的圆与过 $A$ 作的两条定直线分别交于 $M, N$, 求 $\triangle{AMN}$ 的垂心的轨迹.

解答:

连结 $MH$ 并延长交 $AN$ 于 $C$, 交圆于 $H^\prime$.

由 $\angle{AH^\prime C} = \angle{ANM} = \angle{AHC}$ 可得 $\triangle{AHC}\cong \triangle{AH^\prime C}$, 即 $H$, $H^\prime$ 关于 $AN$ 对称.

因为 $\angle{ABH^\prime} = \angle{AMH^\prime} = 90^\circ - \angle{MAN}$ 是定值, 所以 $H$ 点轨迹为 $BH^\prime$ 关于 $AN$ 对称的直线(即图中红线 $h$).

 

4. 设锐角三角形 $ABC$, $a, b, c$ 三边上的高分别为 $h_a, h_b, h_c$. 求证: $${1\over 2} < {h_a + h_b + h_c \over a+ b + c} < 1.$$

解答:

由已知可得 $AD < AC$, $BE < AB$, $CF < BC$, 即 $$h_a < b,\ h_b < c,\ h_c < a \Rightarrow {h_a + h_b + h_c \over a+ b + c} < 1.$$ 另一方面, $$HB + HD > BD,\ HC + HD > CD,$$ $$HC + HE > CE,\ HE + HA > AE,$$ $$HA + HF > AF,\ HF + HB > BF,$$ 以上各式相加可得 $$2(h_a + h_b + h_c) > a + b + c\Rightarrow {1\over 2} < {h_a + h_b + h_c \over a+ b + c}.$$

 

5. 以直角三角形 $ABC$ 的两直角边 $AC, BC$ 为边长分别向外作正三角形 $ACE$ 和正三角形 $BCF$, $BE, CF$ 相交于 $D$. 求证: $C$ 为 $\triangle{EDF}$ 之内心.

解答:

考虑证明 $CF$, $CE$ 均为角平分线即可.

由已知可得 $\triangle{BCE} \cong \triangle{FCE} \cong \triangle{FCA}$ (对称变换及旋转变换), 即得证.

 

 

6. $CH$ 为直角三角形 $ABC$ 斜边上的高, 试证: $\triangle{ABC}, \triangle{HCA}, \triangle{HCB}$ 的内切圆半径之和等于 $CH$.

解答:

设 $\triangle{ACH}$, $\triangle{BCH}$ 之内切圆半径分别为 $r_1$, $r_2$. 如图所示, 对于直角三角形 $ABC$, 内切圆半径为 $$r = {1\over2}(a + b - c),$$ 因此可得 $$r_1 + r_2 + r = {1\over2}(AH + CH - AC) + {1\over2}(BH + CH - BC) + {1\over2}(AC + BC - AB)$$ $$= {1\over2}(AH + CH + BH + CH - AB) = {1\over2}\cdot 2CH = CH.$$

 

7. 在 $\triangle{ABC}$ 中, $BD, CE$ 分别为 $\angle{B}, \angle{C}$ 之平分线, $O$ 为 $DE$ 中点, 求证: $O$ 点到 $BC$ 的距离等于 $O$ 到 $AB, AC$ 两边距离之和.

解答:

如图所示, 需证明 $OF = OG + OH$. 作 $EP \perp BC$, $EM\perp AC$, $DN\perp AB$, $DQ\perp BC$. 由三角形中位线及梯形中位线性质可得 $$OF = {1\over2}(EP + DQ) = {1\over2}(EM + DN) = OG + OH.$$