腾讯课堂目标2017高中数学联赛基础班-2作业题解答-5

 

课程链接：目标2017高中数学联赛基础班-2（赵胤授课）

 

 

1. 若函数 $f(x+2)$ 是偶函数, 则 $y = f(x)$ 的图像之对称轴是什么?

解答:

$f(x+2)$ 对称轴为 $x = 0$, 因此 $f(x)$ 对称轴为 $x = 2$.

 

 

2. 若函数 $f(x)$ 的图像过点 $(0, 1)$, 则 $f(x + 4)$ 的反函数的图像必过哪个定点?

解答:

$f(x)$ 过 $(0, 1)$, 因此 $f(x + 4)$ 过 $(-4, 1)$, 其反函数过 $(1, -4)$.

 

 

3. 已知函数 $f(x)$ 对 $\forall x, y\in\mathbf{R}$, 满足条件 $f(x) + f(y) = 2+f(x + y)$, 且当 $x > 0$ 时, $f(x) > 2$, $f(3) = 5$, 求不等式 $f\left(a^2 - 2a - 2\right) < 3$ 的解.

解答:

首先判断单调性.

设 $x_1 < x_2$, 则 $$f(x_2) = f(x_2 - x_1 + x_1) = f(x_2 - x_1) + f(x_1) -2 > 2 + f(x_1) - 2 = f(x_1).$$ 即 $f(x)$ 单调递增.

另一方面, $$5 = f(3) = f(2 + 1) = f(2) + f(1) - 2 = 2f(1) - 2 + f(1) - 2 = 3f(1) - 4.$$ 即 $f(1) = 3$. 因此有 $$f(a^2 - 2a - 2) < f(1)\Rightarrow a^2 - 2a - 2 < 1 \Rightarrow a^2 - 2a - 3 < 0 \Rightarrow -1 < a < 3.$$

 

 

4. 设函数 $y = f(x)$ 之反函数是 $y = g(x)$. 若 $f(ab) = f(a) + f(b)$, 那么 $g(a + b) = g(a)\cdot g(b)$ 是否成立?请说明理由.

解答:

可以考虑 $f(x)$ 为对数函数$y = \log_ax$, 其反函数 $g(x)$ 为指数函数 $y= a^x$, 因此结论成立. 下面给出证明:

令 $f(a) = m$, $f(b) = n$ $\Rightarrow g(m) = a$, $g(n) = b$. 因此有 $$m + n = f(a) + f(b) = f(ab) = f\left[g(m)\cdot g(n)\right]\Rightarrow g(m)\cdot g(n) = g(m + n).$$ 用 $a, b$ 替换上式中 $m, n$ 即得 $g(a + b) = g(a)\cdot g(b)$.

 

 

5. 若函数 $h(x), g(x)$ 均为奇函数, $f(x) = ah(x) + bg(x) + 2$ 在 $(0, +\infty)$ 上有最大值$5$, 求 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上的最小值.

解答:

令 $F(x) = ah(x) + bg(x)\Rightarrow F(-x) = ah(-x) + bg(-x) = -ah(x) - bg(x) = -F(x)$, 即$F(x)$ 也是奇函数. 且 $F(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上最大值为$3$. 因此其在 $(-\infty, 0)$ 上最小值为 $-3$. 即 $f(x) = F(x) + 2$ 在 $(-\infty, 0)$ 上最小值为$-1$.

 

 

6. 已知 $f(x)$ 为偶函数, 且当 $x\in(-\infty, 0)$ 时单调递减, 求函数 $y = f\left(2x - x^2\right)$ 的单调递增区间.

解答:

由已知得 $f(x)$在$(0, +\infty)$ 单调递增.

令 $u = 2x - x^2 = -(x - 1)^2 + 1$, 其递增区间为 $(-\infty, 1]$. 则由复合函数单调性可知, 当 $f(2x - x^2)$ 单调递增时,

$u > 0$ 且 $x\in(-\infty, 1]$, 即 $x\in(0, 1]$; 或者

$u < 0$ 且 $x\in[1, +\infty)$, 即 $x\in(2, +\infty)$.

综上, $f(2x - x^2)$ 的递增区间为 $(0, 1]\cup(2, +\infty)$.

 

 

7. 已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数, 且满足$$f(x + 2)\left[1 - f(x)\right] = 1+f(x),\ f(1) = 2016,$$ 求 $f(2017)$ 的值.

解答:

易知 $f(x)\ne1$, 因此 $$f(x + 2) = {1+f(x) \over 1-f(x)}\Rightarrow f(x + 4) = {1+f(x+2) \over 1-f(x+2)} = {2\over -2f(x)} = -{1\over f(x)}$$ $$\Rightarrow f(x + 8) = -{1\over f(x+4)} = f(x).$$ 即 $f(x)$ 是以 $8$ 为周期之周期函数.

而 $8\ |\ 2016$, 因此 $f(2017) = f(1) = 2016$.

 

 

 

 

 

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