腾讯课堂目标2017高中数学联赛基础班-2作业题解答-4

 

课程链接：目标2017高中数学联赛基础班-2（赵胤授课）

 

1. 实数 $x, y$ 满足 $4x^2 - 5xy + 4y^2 = 5$. 设 $S = x^2 + y^2$. 求 $S$ 的最大值和最小值.

解答: $$-{1\over2}\left(x^2 + y^2\right)\le xy\le {1\over2}\left(x^2 + y^2\right)$$ $$\Rightarrow -{1\over2}\left(x^2 + y^2\right)\le {4\left(x^2 + y^2\right) - 5\over5}\le {1\over2}\left(x^2 + y^2\right)$$ $$\Rightarrow {10\over13} \le x^2 + y^2 \le {10\over3}.$$

 

2. 求函数$$f(x) = \sqrt{x^4 - 3x^2 - 6x + 13} - \sqrt{x^4 - x^2 + 1}$$的最大值.

解答: $$f(x) = \sqrt{(x - 3)^2 + \left(x^2 - 2\right)^2} - \sqrt{(x - 0)^2 + (x^2 - 1)^2}$$ 在平面直角坐标系中, 设 $P\left(x, x^2\right)$, $A(3, 2)$, $B(0, 1)$. 则有$$f(x) = |PA| - |PB|\le |AB| = \sqrt{10}.$$ 当且仅当 $P, A, B$ 三点共线且 $P$ 在 $AB$ 延长线上时取等号($x < 0$), 即$${x^2 - 1 \over x - 0} = {1\over3}\Rightarrow 3x^2 - x - 3 = 0\Rightarrow x = {1 - \sqrt{37}\over6}.$$ 综上, $f(x)$ 最大值为 $\sqrt{10}$.

 

 

3. 求函数$$f(x) = x+\sqrt{1-x^2}$$的值域.

解答:

令 $x = \cos\theta$, $\theta\in[0, \pi]$, 则 $$f(x) = g(\theta) = \cos\theta + \sin\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta + {\pi\over4}\right).$$ $$\because\theta+\frac{\pi}{4}\in\left[\displaystyle{\pi\over4}, {5\pi\over4}\right]\Rightarrow \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)\in\left[-{\sqrt2\over2}, 1\right]$$ $$\therefore f(x) = g(\theta) = \sqrt{2}\sin\left(\theta + {\pi\over4}\right)\in\left[-1, \sqrt2\right].$$ 另解:

定义域为 $x\in[-1, 1]$, 当 $x\in[-1, 0]$ 时 $f(x)$ 单调递增 $\Rightarrow -1 = f(-1) \le f(0) = 1$. 当 $x\in(0, 1]$ 时$f(x) > 0$, 原式变形为 $$f(x) - x = \sqrt{1 - x^2}\Rightarrow 2x^2 - 2f(x)\cdot x + f^2(x) - 1 = 0$$ $$\Rightarrow \Delta = -4f^2(x) + 8 \ge 0\Rightarrow -\sqrt2 \le f(x) \le \sqrt2\Rightarrow 0 < f(x) \le \sqrt2.$$ 综上, $f(x) \in \left[-1, \sqrt2\right]$.

 

4. 求函数$$u = x^2 - xy + y^2$$在区域 $|x| + |y| \le 1$ 中的最大值和最小值.

解答: $$|x| + |y| \le 1\Rightarrow -1 \le |x| - |y| \le 1.$$ 下面分别求 $u$ 的最大值和最小值: $$u = \left(x - {y\over2}\right)^2 + {3\over4}y^2 \ge 0$$当且仅当 $x = y = 0$ 时取等号, 即 $u \ge 0$.

另一方面, $$u \le x^2 + y^2 + |xy| = {1\over4}(|x| - |y|)^2 + {3\over4}(|x| + |y|)^2\le 1.$$ 当且仅当 $x = 1, y = 0$ 时取等号.

综上, $u\in[0, 1]$.

 

5. 对于每个实数 $x$, 设 $f(x)$ 是 $4x+1$, $x+2$, $-2x+4$ 这三个函数中的最小的, 求 $f(x)$ 的最大值.

解答:

作出图像(三个函数图像对应颜色为红, 蓝, 绿)可得$$f(x) = \begin{cases}4x + 1,\ \left(x \le \displaystyle{1\over3}\right)\\ x + 2,\ \left(\displaystyle{1\over3} < x \le {2\over3}\right)\\ -2x + 4,\ \left(x > \displaystyle{2\over3}\right)\end{cases}$$ 因此 $f(x)\le f\left(\displaystyle{2\over3}\right) = \displaystyle{8\over3}$.

 

6. 求函数 $f(x) = x^2(1-3x)$ 在 $\left[0, \displaystyle{1\over3}\right]$ 上的最大值.

解答: $$f(x) = -3x^3 + x^2\Rightarrow f^\prime = -9x^2 + 2x = 0\Rightarrow x_1 = 0,\ x_2 = {2\over9}.$$ 比较大小: $$f(0) = 0,\ f\left({1\over3}\right) = 0,\ f\left({2\over9}\right) = {4\over243}.$$ 因此最大值为 $\displaystyle{4\over243}$.

另解: $$f(x) = x\cdot x \cdot {3\over2}\left({2\over3} - 2x\right) \le {3\over2}\cdot\left({2\over9}\right)^3 = {4\over243}.$$当且仅当 $x = \displaystyle{2\over3} - 2x\Rightarrow x = \displaystyle{2\over9}$ 时取等号.

 

7. 已知 $1 \le x^2 + y^2 \le 4$. 求 $x^2 - xy + y^2$ 的最大值和最小值.

解答:

令 $x = a\sin\theta$, $y = a\cos\theta$, $a\in[1,2]$, $\theta\in[0, 2\pi)$. 则有$$x^2 - xy + y^2 = a^2 - a^2\sin\theta\cos\theta = a^2\left(1 - {1\over2}\sin2\theta\right)\in\left[{1\over2}a^2, {3\over2}a^2\right].$$ 因此最小值为 $\displaystyle{1\over2}$, 最大值为 ${6}$.

另解: $$-{x^2 + y^2\over2}\le xy \le {x^2 + y^2 \over2}$$ $$\Rightarrow {1\over2}\left(x^2 + y^2\right)\le x^2 + y^2 - xy \le {3\over2}\left(x^2 + y^2\right)$$ $$\Rightarrow {1\over2}\le x^2 + y^2 - xy \le6.$$

 

8. 若 $a, b, c, d\in\mathbf{R}$, 且满足$$\begin{cases}a^2 + b^2 + 2a - 4b + 1 = 0\\ c^2 + d^2 - 6c - 2d + 9 = 0 \end{cases}$$求 $u = (a-c)^2 + (b-d)^2$ 的最值.

解答: $$\begin{cases}(a + 1)^2 + (b - 2)^2 = 4 \\ (c - 3)^2 + (d - 1)^2 = 1\end{cases}$$即 $(a, b)$ 在以 $O_1(-1, 2)$ 为圆心, 半径为2的圆上. $(c, d)$ 在以 $O_2(3, 1)$ 为圆心, 半径为1的圆上.

因此$$u \le (|O_1O_2| + 2 + 1)^2 = \left(\sqrt{17} + 3\right)^2 = 26 + 6\sqrt{17},$$ $$u \ge (|O_1O_2| - 2 - 1)^2 = \left(\sqrt{17} - 3\right)^2 = 26 - 6\sqrt{17}.$$

 

9. 求当 $x\in\left[\displaystyle{3\over2}, 2\right]$ 时, 函数$$y = {x - 1 \over x^2 - 2x + 5}$$的最大值和最小值.

解答: $$y = {x - 1 \over x^2 - 2x + 5} = {x - 1 \over (x - 1)^2 + 4} = {1 \over x - 1 + \displaystyle{4\over x-1}}.$$ 令 $t = x - 1$, $t\in\left[ \displaystyle{1\over2}, 1\right]$, 则 $$y = g(t) = {1 \over t + \displaystyle{4\over t}}$$在 $(0, 1]$ 单调递增. 因此 $$y = g(t) \le g(1) = {1\over5},$$ $$y = g(t) \ge g\left({1\over2}\right) = {2\over17}.$$

 

 

赵胤老师微信二维码: