腾讯课堂2017高联基础班“指数与对数”作业题-2

 

课程链接：目标2017高中数学联赛基础班-1（赵胤授课）

 

1、化简: $${(27^{1\over \log_23} + 5^{\log_{25}49})(81^{1\over \log_49} - 8^{\log_49})\over 3+5^{1\over \log_{16}25} \cdot 5^{\log_53}}.$$ 解答:

原式 = ${\left(27^{\log_32} + 5^{\log_57}\right)\cdot\left(81^{\log_94} - 8^{\log_23}\right) \over 3 + 5^{\log_{25}16}\cdot 5^{\log_53}} = {(8 + 7)\cdot(16 - 27)\over 3 + 4\cdot 3}= -11$.

 

2、解方程 $\log_5(4^x + 144) - 4\log_52 = 1 + \log_5(2^{x - 2} + 1)$.

解答: $$\because \log_5\left(4^x + 144\right) - \log_516 = 1 + \log_5\left(2^{x - 2} + 1\right)\Rightarrow \log_5{4^x + 144 \over 16} = \log_5\left[5\cdot\left(2^{x - 2} + 1\right)\right]$$ $$\Rightarrow {4^x + 144 \over 16} = 5\cdot\left(2^{x - 2} + 1\right) \Rightarrow 2^{2x} + 144 = 80\cdot\left({1\over4}\cdot 2^x + 1\right)$$ $$\Rightarrow \left(2^x\right)^2 - 20\cdot 2^x + 64 = 0 \Rightarrow 2^x = 4,\ 16$$ $$\therefore x_1 = 2,\ x_2 = 4.$$ 经检验, $x_1 = 2$, $x_2 = 4$ 是原方程的解.

 

3、设 $d > 0$, $d \ne 1$, $y = d^{1\over 1-\log_dx}$, $z = d^{1\over 1-\log_dy}$, 求证: $$x = d^{1\over 1 - \log_dz}.$$ 解答: $$\because y = d^{1\over 1 - \log_dx},\ z = d^{1\over 1 - \log_dy} \Rightarrow \log_dy = {1\over 1-\log_dx},$$ $$\log_dz = {1\over 1-\log_dy} \Rightarrow \log_dz = {1\over 1- {1\over 1- \log_dx}} = {1 - \log_dx \over -\log_dx} \Rightarrow \left(1 - \log_dz\right)\cdot\log_dx = 1,$$ $$\Rightarrow \log_dx = {1\over 1 - \log_dz} \Rightarrow x = d^{1\over 1 - \log_dz}.$$

 

4、已知 $a, b, c$ 为不等于1的正数, 且 $abc \ne 1$, $\log_a10 + \log_b10 + \log_c10 = \log_{abc}10$. 求证: $a, b, c$ 中有两个数之积为1.

解答: $$\because {1\over \lg a} + {1\over \lg b} + {1\over \lg c} = {1\over \lg(abc)} = {1\over \lg a + \lg b + \lg c}$$ $$\Rightarrow {\lg a + \lg b \over \lg a \cdot \lg b} + {\lg a + \lg b \over \left(\lg a + \lg b + \lg c\right)\cdot \lg c} = 0$$ $$\Rightarrow \left(\lg a + \lg b\right)\cdot {\left(\lg a + \lg b + \lg c\right)\lg c + \lg a \cdot \lg b \over \lg a \cdot \lg b \cdot \lg c \cdot \left(\lg a + \lg b + \lg c\right)} = 0$$ $$\Rightarrow {\left(\lg a + \lg b\right)\cdot\left(\lg b + \lg c\right)\cdot\left(\lg c + \lg a\right)\over \lg a \cdot \lg b \cdot \lg c\cdot\left(\lg a + \lg b + \lg c\right)} = 0$$ $$\Rightarrow \left(\lg a + \lg b\right)\cdot\left(\lg b + \lg c\right)\cdot\left(\lg c + \lg a\right) = 0$$ $$\Rightarrow \lg ab \cdot \lg bc \cdot \lg ca = 0.$$ 即 $ab = 1$ 或 $bc = 1$ 或 $ca = 1$.

 

5、$x$ 是五位数, $p, q$ 是正整数, 且 $p > q$, 若 $\lg x^p$ 和 $\lg x^q$ 的尾数相等, 求 $x$ 的值.

解答:

令 $n = \lg x^p - \lg x^q = \lg x^{p - q}\in \mathbf{N^{*}}$.

$\Rightarrow x^{p - q} = 10^n = 2^n \cdot 5^n$.

令 $x = 2^a\cdot 2^b$, $a, b\in\mathbf{N^*}$, $$\Rightarrow 2^{a\cdot(p - q)}\cdot 5^{b\cdot(p - q)} = 2^n \cdot 5^n \Rightarrow a\cdot(p - q) = b\cdot(p - q) = n$$ $$\Rightarrow a = b \Rightarrow x = 10^a \Rightarrow a = 4 \Rightarrow x = 10000.$$

 

6、设 $p, q$ 是整数, 且 $1 < q < p < 10$, $\displaystyle{q\over p}$ 是既约分数, 若 $\lg\displaystyle{1\over q}$ 的尾数大于 $\lg p^2$ 的尾数, 求 $\displaystyle{q\over p}$.

解答: $$\because 1 < p < 10 \Rightarrow 0 < \lg p < 1$$ $$\because 1 < q < 10 \Rightarrow {1\over 10} < {1\over q} < 1 \Rightarrow -1 < \lg{1\over q} < 0 \Rightarrow -1 < - \lg q < 0 \Rightarrow 0 < 1 - \lg q < 1 \Rightarrow \lg {1\over q} = -\lg q = -1 + \left(1 - \lg q\right).$$

a. 当 $0 < \lg p < \displaystyle{1\over2}$ 时, $$\Rightarrow 0 < 2\lg p < 1\Rightarrow 1 - \lg q > 2\lg p\Rightarrow \lg p^2q < 1 \Rightarrow p^2q < 10.$$ 而 $2^2 \times 3 = 12 > 10\Rightarrow$ 无解.

b. 当 $\displaystyle{1\over2} \le \lg p < 1$ 时, $$\Rightarrow \sqrt{10} \le p < 10 \Rightarrow 0 \le 2\lg p - 1 < 1 \Rightarrow 1 - \lg q > 2\lg p - 1 \Rightarrow \lg p^2q < 2 \Rightarrow p^2q < 100.$$ 当 $(p, q) = 1$, $1 < q < p < 10$ 且 $\sqrt{10} \le p < 10$ 时, 满足题意的解为$$(p, q) = (4,3),\ (5, 2),\ (5, 3),\ (7, 2).$$ 综上, $\displaystyle{q \over p} = {3\over4},\ {2\over5},\ {3 \over5},\ {2\over7}$.

 

7、已知 $\lg x, \lg\displaystyle{100\over x}$ 的首数分别是 $a$ 和 $b$, 求 $3a^2 - 4b^2$ 的最大值.

解答:

设 $\lg x = a + \alpha$, $a\in\mathbf{Z}$, $0 \le \alpha < 1$, 则 $$\lg{100\over x} = 2 - \lg x = 2 - a - \alpha = 1 - a + 1 - \alpha.$$ a. 若 $\alpha = 0$, 则 $b = 2 - a$. $$3a^2 - 4b^2 = 3a^2 - 4(2-a)^2 = -a^2 + 16a - 16 = -\left( a^2 - 16a + 64\right) + 48$$ $$= -(a - 8)^2 + 48 \le 48.$$ b. 若 $0 < \alpha < 1$, 则 $b = 1-a$. $$3a^2 - 4b^2 = 3a^2 - 4(1-a)^2 = -a^2 + 8a - 4 = -\left( a^2 - 8a + 16\right) + 12$$ $$= -(a - 4)^2 + 12 \le 12.$$ 综上, $\left(3a^2 - 4b^2\right)_\text{max} = 48$, 此时 $x = 10^8$.

 

 

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