海边直播目标2017全国初中数学竞赛班作业题-2

 

设抛物线 $y = x^2 - 8x + 12$ 交 $x$ 轴于 $A(x_1, 0), B(x_2, 0)$, ($x_1 < x_2$) 两点, 以线段 $AB$ 为非直径的弦的圆交直线 $l_1: y = -x + 6$ 于 $E$ 点, 与直线 $l_2: y = x - 6$ 相交于 $F$ 点. 当直线 $EF$ 交直线 $l_1$ 成 $30^{\circ}$ (即 $\angle{FEB} = 30^{\circ}$)时, 试求 $BE, BF$ 的长.

 

解答:

易知 $A(2, 0)$, $B(6, 0)$, $l_1, l_2$ 交于 $B$, 且 $l_1 \perp l_2$.

即 $\angle{EBF} = 90^\circ \Rightarrow EF$ 是直径,

$\Rightarrow \angle{EAF = 90^\circ}, \angle{AFE} = \angle{ABE} = 45^\circ,$

$\Rightarrow AE = AF$, 即 $\triangle{AEF}$ 是等腰直角三角形.

$\because \angle{FEB} = 30^\circ$, 设 $EF = 2r$, $BF = r$, $BE = \sqrt3r$,

$\therefore AE = \sqrt2 r$.

在 $\triangle{ABE}$ 中, 由余弦定理知 $$AE^2 = AB^2 + BE^2 - 2AB\cdot BE \cdot \cos45^\circ$$ $$\Rightarrow 2r^2 = 16 + 3r^2 - 2\cdot4\cdot\sqrt3r\cdot{\sqrt2\over2}$$ $$\Rightarrow r^2 - 4\sqrt6r + 16 = 0$$ $$\Rightarrow r = 2\sqrt6 \pm2\sqrt2$$ $$\Rightarrow \begin{cases}BE = 6\sqrt2 - 2\sqrt6\\ BF = 2\sqrt6 - 2\sqrt2\end{cases},\ \begin{cases}BE = 6\sqrt2 + 2\sqrt6\\ BF = 2\sqrt6 + 2\sqrt2\end{cases}.$$

 

 

 

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