海边直播目标2017全国初中数学竞赛班作业题-3

 

设 $a < 0$, 求证方程 $\displaystyle{1\over x} + {1\over x+a} + {1\over x+a^2} = 0$ 有两个异号实根, 且正根小于 $-\displaystyle{2a\over3}$, 负根大于 $-\displaystyle{2a^2\over 3}$.

 

解答:

考虑将该分式方程转化为整式方程并讨论之. $$ {1\over x} + {1\over x+a} + {1\over x + a^2} = 0 \Rightarrow (x + a)(x + a^2) + x(x + a^2) + x(x + a) = 0 \Rightarrow 3x^2 + (2a^2+2a)x + a^3 = 0.$$ 令 $f(x) = 3x^2 + 2(a^2 + 2a)x + a^3$, 由 $a < 0$ 易知 $$\begin{cases}f(0)\cdot f(-\displaystyle{2\over3}a^2) = -{1\over3}a^6 < 0\\ f(0)\cdot f(-\displaystyle{2\over3}a) = -{1\over3}a^6 < 0\end{cases}$$ 即 $f(x)$ 在 $\left(-\displaystyle{2\over3}a^2, 0\right)$ 有一负根, 在 $\left(0, -\displaystyle{2\over3}a\right)$ 有一正根.

又 $\because$ $$f(0) = a^3 \ne0$$ $$f(-a) = -a^3 \ne0$$ $$f(-a^2) = a^4 - a^3 \ne 0$$ 即 $x \ne0, -a, -a^2$.

$\therefore$ 方程 $3x^2 + 2(a^2 + a)x + a^3 = 0$ 与原分式方程同解.

故命题成立.

 

 

 

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