数学奥林匹克问题解答：平面几何-5

已知: 非等腰 $\triangle{ABC}$, $BD, CE$ 分别是 $AC,AB$ 边上的高, $F$ 是 $BC$ 边上的中点, $EF, DF$ 的中点分别是 $M,N$, $I$ 是 $MN$ 上一点, 且满足 $AI\parallel BC$.

求证: $IA = IF$.

分析:

$BD,CE$ 之交点是 $\triangle{ABC}$ 的垂心 $H$, 且易知 $A, E, H, D$ 四点共圆, 即 $IA$ 是 $\odot{O}$ 之切线.

另一方面, 由 $M, N$ 分别是 $\odot{O}$ 两条切线 $(FD, FE)$ 之中点, 依据根轴性质即可得证.

证明:

易知, $BD, CE$ 之交点即为 $\triangle{ABC}$ 之垂心 $H$, 且 $A, E, H, D$ 四点共圆, 设该圆为 $\odot{O}$, 并连结 $AH, DE$.

由 $F$ 是 $BC$ 中点及 $BD\perp AC$, 可得:

$\angle{BDF} = \angle{DBC} = 90^{\circ} - \angle{ACB} = \angle{DAH}\Rightarrow FD$ 是 $\odot{O}$ 之切线.

同理可证 $FE$ 是 $\odot{O}$ 之切线.

又 $\because M,N$ 分别是 $FE, FD$ 之中点, $\therefore$ 连结 $OF$ 易证 $OF\perp MN$.

因此, $MN$ 是 $\odot{O}$ 与 $F$ (缩成一点的圆)之根轴, 即满足 $IA^2 = IF^2\Rightarrow IA = IF$.

Q$\cdot$E$\cdot$D

 

评注:

1. 根轴是指两圆之等幂线(轨迹), 即到两圆周的幂相等的点的轨迹. 该轨迹为垂直于两圆连心线的直线(证明见文末). 特别地,

　当两圆相交时, 根轴为两圆公共弦;

　当两圆相切时, 根轴为过两圆切点的公切线;

　当两圆相离时, 根轴为过两圆四条公切线中点的直线.

2. 本题中 $\odot{F}$ 之半径为0, 故 $I$ 对 $\odot{F}$ 的幂为 $IF^2$.

3. 本题中直线 $MN$ 上所有点均满足到 $F$ 之距离等于到 $\odot{O}$之切线的距离, $M, N$ 两点即为特例.

4. 证明: 对于两已知圆有等幂的点的轨迹, 是一条垂直于连心线的直线.

设点 $M$ 到$\odot{O_1}$ 和 $\odot{O_2}$ 的幂相等, 则

$MO_1^2 - R_1^2 = MO_2^2 - R_2^2 \Rightarrow MO_1^2 - MO_2^2 = R_1^2 - R_2^2 =$ 常数.

设 $O_1O_2$之中点为 $D$, $MH\perp O_1O_2$, 则

$MO_1^2 - MO_2^2 = (O_1H^2 + MH^2) - (O_2H^2 + MH^2) = O_1H^2 - O_2H^2 = O_1O_2\cdot 2DH = 2O_1O_2\cdot DH$

即有 $2O_1O_2\cdot DH = MO_1^2 - R_1^2 = R_1^2 - R_2^2 \Rightarrow DH = \displaystyle{R_1^2 - R_2^2 \over 2O_1O_2} =$ 常数.

因此, $H$ 点一定是定点, 过 $H$ 的垂线即为两圆等幂点的轨迹.

Q$\cdot$E$\cdot$D

 

参考文献：

杜锡录, 初中数学竞赛教程(第一版). 第29讲. 江苏教育出版社. ISBN: 7-5343-1054-7.

 

 

 

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