数学奥林匹克问题解答：初等数论-1

求所有使 $p^2 - p + 1$ 为立方数的素数 $p$.

 

解答:

设 $p^2 - p + 1 = q^3$, 其中 $q\in\mathbf{N^{*}}$.

则 $p(p-1) = (q-1)(q^2 + q + 1)$.

$\because p$ 是素数, $\therefore p\ |\ (q-1)$ 或 $p\ |\ (q^2 + q + 1)$.

若 $p\ |\ (q-1)$, 则 $p \le q-1 \Rightarrow p < q \Rightarrow p^3 < q^3 \Rightarrow p^3 + 1 \le q^3$.

$\because p^2 - p + 1 = q^3 \Rightarrow (p+1)(p^2 - p + 1) = q^3(p+1) \Rightarrow p^3 + 1 = q^3(p+1) > q^3$, 矛盾.

故 $p\ |\ (q^2 + q + 1)$. 设 $q^2 + q + 1 = kp$, $k\in\mathbf{N^{*}}$, 于是有

$p(p-1) = (q-1)(q^2 + q + 1) \Rightarrow p-1 = k(q-1) \Rightarrow p = k(q-1) + 1 \Rightarrow q^2 + q + 1 = k^2(q-1) + k$

$\Rightarrow q^2 + (1-k^2)q + (k^2-k+1) = 0$, 该一元二次方程有正整数根.

$\Rightarrow \Delta = (1-k^2)^2 - 4(k^2 - k + 1) = k^4 - 6k^2+ 4k - 3$ 是完全平方数.

而 $k^4 - 6k^2 + 9 = (k^2 - 3)^2 \le k^4 - 6k^2+ 4k - 3 < k^4 -2k^2 + 1 = (k^2 - 1)^2$, 右边不等号成立的依据是 $k^2 - k + 1 > 0$ 恒成立.

$\Rightarrow k^4 - 6k^2+ 4k - 3 = (k^2 - 3)^2$ 或 $k^4 - 6k^2+ 4k - 3 = (k^2 - 2)^2$.

若 $k^4 - 6k^2+ 4k - 3 = (k^2 - 3)^2 = k^4 - 6k^2 + 9$, $\Rightarrow k = 3$, $q = 7$, $p = 19$, 符合题意.

若 $k^4 - 6k^2+ 4k - 3 = (k^2 - 2)^2 = k^4 - 4k^2 + 4$, $\Rightarrow k$ 没有正整数解.

综上, $p = 19$.

 

 

 

作者微信: zhaoyin0506 (可直接扫描以下二维码)