怎样用小数定义有理数和无理数？

人们对小数的认识要比对分数的认识晚得多，直到18世纪人们才建立起稳定的十进位小数表达形式，这比微积分的出现还要晚100多年。荷兰数学家、工程师Simon Stevin是最早开始用小数表示有理数的人。

建立小数的概念，一方面是为了现实世界中数量表达的需要；另一方面是为了数学本身的需要，主要是为了表达无理数。如果没有小数来表达无理数，人们就很难进行无理数的加法运算。例如，尽管人们很早就知道$\sqrt2$和$\sqrt3$是无理数，但无法进行这两个无理数的加法运算。如果借助小数，就可以很顺利地进行这两个无理数的加法运算：$$\sqrt2 + \sqrt3 = 1.41421\cdots + 1.73205\cdots = 3.14626\cdots\cdots$$

显然，要用小数表示所有的无理数，首先要用小数表示所有的有理数。也就是说需要回答以下两个问题：

1、是否所有的分数都可以化为有限小数或者无限循环小数呢？

2、是否所有的有限小数或者无限循环小数都可以化为分数呢？

如果上述两个问题的答案是肯定的，那么分数就可以与有限小数或者无限循环小数一一对应。换言之，我们可以通过一种特殊的小数（即有限小数和无限循环小数）来定义有理数，进而用这种特殊的小数以外的小数来定义无理数。

因此，判断分数与有限小数或者无限循环小数之间的对应关系是解决用小数表达所有实数的关键。接下来我们给出证明：

【命题一】所有的分数都可以化为有限小数或者无限循环小数。

【证明】

假设分数 $\dfrac{p}{q}$, $(p,\ q) = 1$ 且 $p < q$, 即 $\dfrac{p}{q} < 1$.

若 $\dfrac{p}{q}$ 可以化为有限小数，则命题成立。

若 $\dfrac{p}{q}$ 不能化为有限小数，那么在 $p$ 后面加 $0$ 再除以 $q$, 此时余数只能为 $1,\ 2,\ \cdots,\ q-1$ 中的整数。根据抽屉原理，至多经过 $q$ 次运算后，某个余数必然会出现第二次，由此出现周期反复，形成了循环小数。所以，该分数可以化为无限循环小数，命题成立。

【命题二】所有的有限小数或者无限循环小数都可以化为分数。

【证明】

不失一般性，只需考虑介于$0$, $1$之间的有限小数或者无限不循环小数即可。

先考虑有限小数的情形，假设一个有限小数为$$A = 0.a_1a_2\cdots a_p = \frac{a_1}{10} + \dfrac{a_2}{10^2} + \cdots + \dfrac{a_p}{10^p},$$ 这显然可以通过通分得到一个分母为 $10^p$ 的分数。因此，有限小数可以化为分数。

下面考虑无限循环小数的情形。一个无限循环小数可以分为两部分，第一部分是有限个不循环项，第二部分是无限个循环项。不失一般性，假设不循环项是 $P$ 且包含了 $p$ 项，循环项是 $Q$ 且包含了 $q$ 项, 则$$B = 0.PQ \Rightarrow \begin{cases} B \times 10^p = P.Q\\ B \times 10^{p+q} = PQ.Q \end{cases} \Rightarrow B \times 10^p (10^q - 1) = P\times 10^q + Q - P$$ $$\Rightarrow B = \frac{P\times \left(10^q - 1\right) + Q}{10^p (10^q - 1) },$$ 这显然是一个分数。

由上述两个命题可知，分数与有限小数或者无限循环小数是等价的。因此可以用小数定义有理数：

有限小数或者无限循环小数称为有理数。

进一步，可以用小数定义无理数：

无限不循环小数称为无理数。

还可以由此来定义实数：

有限小数、无限循环小数或者无限不循环小数统称为实数。

  

 

作者简介

赵胤(wechat: zhaoyin0506)，海归双硕士、中国数学奥林匹克壹级教练员。曾执教于北京四中等国内顶尖高中和省级数学竞赛集训队，培养了大批国内外数学竞赛获奖选手。