[OI] 洛谷P1001过河卒题解

[NOIP2002 普及组] 过河卒

题目描述

棋盘上 \(A\) 点有一个过河卒，需要走到目标 \(B\) 点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上 \(C\) 点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。因此称之为“马拦过河卒”。

棋盘用坐标表示，\(A\) 点 \((0, 0)\)、\(B\) 点 \((n, m)\)，同样马的位置坐标是需要给出的。

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现在要求你计算出卒从 \(A\) 点能够到达 \(B\) 点的路径的条数，假设马的位置是固定不动的，并不是卒走一步马走一步。

输入格式

一行四个正整数，分别表示 \(B\) 点坐标和马的坐标。

输出格式

一个整数，表示所有的路径条数。

样例 #1

样例输入 #1

6 6 3 3

样例输出 #1

6

提示

对于 \(100 \%\) 的数据，\(1 \le n, m \le 20\)，\(0 \le\) 马的坐标 \(\le 20\)。

【题目来源】

NOIP 2002 普及组第四题

题目分析

\(upd:\)迁移至博客园地址

马走日，象走田，卒子一去不复返

对于本题，卒子一开始的坐标为\((0, 0)\)

而对于卒子，所有格子的状态无非2种: 能走与不能走(1或者0)

但是我们还需要令起点从(0, 0)到(1, 1)，即向右下方偏移一位

设dp[i][j]为从1到i的路径条数，我们可以得到对状态进行转移的方程:

\(dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]\)

long long dp[25][25];//别忘了定义

但是我们需要先给定格子状态再偏移

所以我们可以bitset一个mp[25][25]用来存储每个格子的状态

(开大些没坏处)

bitset<25> mp[N];

那么什么格子不能走呢?

马能走的格子啊(废话)

所以dp[马的x - 1][马的y + 2] = 0

dp[马的x - 1][马的y - 2] = 0

dp[马的x - 1][马的y + 2] = 0

dp[马的x + 1][马的y - 2] = 0

dp[马的x + 1][马的y + 2] = 0

dp[马的x - 2][马的y + 1] = 0

dp[马的x - 2][马的y + 1] = 0

dp[马的x + 2][马的y + 1] = 0

dp[马的x + 2][马的y + 1] = 0

如果觉得这些代码过于冗杂，可以两个数组 dx[8], dy[8]

代码如下:

int dx[8] = {1, 1, -1, -1, 2, 2, -2, -2};
int dy[8] = {2, -2, 2, -2, 1, -1, 1, -1};
//数组的元素必须一一对应

然后使用for循环处理mp

代码:

for(int i = 0; i < 8; i++)
{

    int nx = x + dx[i], ny = y + dy[i];//x为马的坐标x,y为马的坐标y`

    if(1 <= nx && nx <= n && 1 <= ny && ny <= m)
    {
        mp[nx][ny] = ture;//mp为一个二进制数组,相当于bool数组，其中的值表示能不能走
    }
}

接下来就是偏移了

这个时候:这个\(dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]\)就派上用场了

dp[1][1] = 1;//别忘了将第一个格子初始化
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
    for(int j = 1; j <= m; j++)
    {
        if(i == 1 && j == 1) coutinue;
        dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
        if(mp[i][j])dp[i][j] = 0;//如果走到马的控制点路径为0
    }
}

最后输出dp[n][m]

cout << dp[n][m] << '\n';

完整AC代码:

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    long long dp[25][25] = {0};
    bitset<25> mp[25];
    int dx[8] = {1, 1, -1, -1, 2, 2, -2, -2};
    int dy[8] = {2, -2, 2, -2, 1, -1, 1, -1};
    signed main()
    {
    	ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    	int n, m, x, y;cin >> n >> m >> x >> y;
    	n++, m++, x++, y++;
    	
    	mp[x][y] = true;
    	for(int i = 0; i < 8; i++)
    	{
    		int nx = x + dx[i], ny = y + dy[i];
    		if(1 <= nx && nx <= n && 1 <= ny && ny <= m)mp[nx][ny] = true;
    	}
    	dp[1][1] = 1;
    	for(int i = 1; i <= n; i++)
    	{
    		for(int j = 1; j <= m; j++)
    		{
    			if(i == 1 && j == 1) continue;
    			dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
    			if(mp[i][j])dp[i][j] = 0;
    		}
    	}
    	cout << dp[n][m] << endl;
    	
    	return 0;
    }