堆排序

　　堆排序是我们熟知的常用的排序算法。

　　首先先介绍一下什么是堆排序。堆指的并不是我们数据结构上分配内存的堆栈，在这里指的是大顶堆和小顶堆。大顶堆是指根节点数值大于左右孩子节点的完全二叉树，也有可能是满二叉树。总之，就是一颗存贮数值的树。我们可以利用根节点大于孩子节点这一特性对一组数组建立堆，不断取出根节点再建立大顶堆的过程来完成对数组排序。

　　对于大顶堆，可以用这样的数学角度考虑，即a[i]>a[2i]，且a[i]>a[2i+1]，也就是上面所说的根节点的数值大于左右孩子节点的数值。对于小顶堆则反之。

　　知道了大顶堆的概念，如何建立大顶堆呢？可以这样考虑。大顶堆父亲节点肯定大于孩子节点，所以首先对一个节点与其左右孩子节点比较，选取数值最大的那个，交换数值变成大顶堆。如果过程中交换了数值，说明被交换的那个孩子还需要再对其考虑一次是否为大顶堆，再对它进行一次比较。如此一来，我们完全可以利用递归调用自身的方式进行建堆。

　　上面的第一步只是保证那一部分是大顶堆，如何保证整棵树都是大顶堆的形式？这就需要我们把每一个非叶子节点比较一次。但是按照什么样的顺序呢？为了保证整个树为大顶堆，这就需要我们从下而上建立大顶堆。请你自己思考一下这是为什么。也就是从n/2（n指的是总长度）到1逐个比较排序建堆。当然，对于叶子节点根本无需考虑，因为总之它的父母会主动和他们比较。

　　以上两步工作是完成建立大顶堆，可是我们的堆排序呢？接下来，我们就是巧妙的利用大顶堆的性质，对数组进行交换排序。具体操作为：首先交换a[0]和a[n]，即交换最大的到最后。然后再把剩余的1到n-1的堆重新进行堆排序。反复循环。这样就可以保证堆的第一个元素永远是最大的。不断交换第一个元素与最后一个，完成从小到大排序。

　　十分简单而又十分优雅的排序，但是我习惯上用0作为数组的第一个下标，所以各种下标处理就需要格外谨慎。左右孩子节点处理也要十分小心。已下为具体的C++程序代码，CB已经完美运行。

#include<iostream>
using namespace std;

int a[10] = {4,1,3,2,16,9,10,14,8,7};
int len = sizeof(a)/sizeof(int);

inline int PARENT(int i){
    return i/2;
}

inline int LEFT(int i){
    return 2*i+1;
}

inline int RIGHT(int i){
    return 2*i+2;
}

void exchange(int &a, int &b){
    int temp = a;
    a = b;
    b = temp;
}

void maxHeapify(int a[], int i){    //put the index i into the right place
    int maxIndex;
    if(LEFT(i) < len && a[LEFT(i)] > a[i]){
        maxIndex = LEFT(i);
    }else{
        maxIndex = i;
    }
    if(RIGHT(i) < len && a[RIGHT(i)] > a[maxIndex]){
        maxIndex = RIGHT(i);
    }

    if(maxIndex != i){
        exchange(a[i], a[maxIndex]);
        maxHeapify(a, maxIndex);
    }
}

void buildMaxHeap(int a[]){
    int l;
    if(len%2 == 0)
        l = len/2 - 1;
    else
        l = len/2;
    for(int i = l; i >= 0; --i)
        maxHeapify(a, i);
}

void heapSort(int a[]) {
    buildMaxHeap(a);
    for(int i = len - 1; i != 0; --i){
        exchange(a[0], a[i]);
        --len;
        buildMaxHeap(a);
    }
}
int main() {
    buildMaxHeap(a);
    for(int i = 0; i < 10; ++i)
        cout<<a[i]<<" ";
    cout<<endl;
    heapSort(a);
    for(int i = 0; i < 10; ++i)
        cout<<a[i]<<" ";

    return 0;
}