数据结构：树

1.树定义

　　专业定义:

　　　　1.有且只有一个称为根的结点

　　　　2.有若干个互不相关的子树，这些子树本身也是一棵树

　　通俗定义

　　　　1.树是由结点和边组成

　　　　2.每一个结点只有一个父节点，但可以有多个子节点

　　　　3.但有一个结点例外，该节点没有父节点，此结点称为根结点

　　专业术语

　　　　结点  父节点  子节点  子孙  堂兄弟

　　　　深度：

　　　　　　从根结点到最底层结点的层数称之为深度

　　　　　　根结点是第一层

　　　　叶子结点：

　　　　　　没有子结点的结点

　　　　非终端结点：

　　　　　　实际就是非叶子结点

　　　　度：

　　　　　　子结点的个数称为度

2.树分类

　　一般树

　　　　任意一个结点的子结点的个数都不受限制

　　二叉树

　　　　任意一个结点的子结点个数最多两个，且子结点的位置不可更改（序号）

　　　　分类：

　　　　　　一般二叉树

　　　　　　满二叉树

　　　　　　　　在不增加树的层数的前提下，无法添加一个结点的二叉树就是满二叉树

　　　　　　　　一个结点的二叉树就是满二叉树

　　　　　　完全二叉树（必须是满的然后再砍）

　　　　　　　　如果只是删除了满二叉树最底层最右边的连续若干个结点

　　　　　　　　这样形成的二叉树就是完全二叉树

　　　　　　　　(满二叉树是完全二叉树的特例，就是一个不删)

　　　　　　森林

　　　　　　　　n个互不相交的树的集合

 

　　红的是一般二叉树

　　蓝的是补充为 满二叉树

　　黄色的是砍除部分，称为完全二叉树

3.树的存储

　　（1）二叉树的存储

　　　　连续存储【完全二叉树】（根据序号和算法等）

 　　　　　　优点：

　　　　　　　　查找某个结点的父结点和子结点（也包括判断有没有子节点）速度很快

　　　　　　缺点：　　

　　　　　　　　耗用内存空间过大

　　　　链式存储（根据指针域指向来存储）

 

　　（2）一般树的存储

　　　　双亲表示法

　　　　　　求父节点方便

　　　　　　（通过结构体数组或类来存储子节点数据以及父节点的下标）

　　　　孩子表示法

　　　　　　求子节点方便

　　　　　　（通过链表来存储子节点）

　　　　双亲孩子表示法

　　　　　　求父节点和子节点都很方便

　　　　　　（结合前两种，操作比较复杂）

　　　　二叉树表示法

 　　　　　　把一个普通树转化成二叉树来存储

　　　　　　　具体转换方法：

　　　　　　　　　　设法保证任意一个结点的

　　　　　　　　　　　　左指针域指向第一个孩子

　　　　　　　　　　　　右指针域指向它的兄弟

　　　　　　　只要满足就可以把一个普通树转化成二叉树 

　　　　　　    一个普通树转化成二叉树一定没有右子树

　　　　　　　　　　

　　（3）森林的存储

　　　　类似于一般树的二叉树表示法

 

　　

4.二叉树操作

　　遍历

　　　　先序遍历【先访问根结点】

　　　　　　先访问根结点

　　　　　　再先序访问左子树

　　　　　　再先序访问右子树

　　　　中序遍历【中间访问根结点】

　　　　　　中序遍历左子树

　　　　　　再访问根结点

　　　　　　再中序遍历右子树

　　　　后序遍历【最后访问根结点】

　　　　　　中序遍历左子树

　　　　　　中序遍历右子树

　　　　　　再访问根结点 

　　已知两种遍历序列求原始二叉树

　　　　　　通过先序和中序，或者中序和后序可以还原出原始二叉树

　　　　　　但是通过先序和后序无法还原出原始的二叉树

　　　　　　先序和中序：通过先序第一个来判断根结点，之后找到中序的那个根结点后，截断左

　　　　　　　　　　　　边，再找先序中根结点后下一个字母，截断该字母左和右

　　　　　　中序和后序：通过后序第一个来判断根结点，操作与先序只是从后开始的区别

5.应用

　　树是数据库中数据组织的一种重要形式

　　操作系统子父系统的关系本身就是一棵树

　　面向对象语言中类的继承关系

 

　　赫夫曼树

　　　（1）术语

　　　　结点的路径长度：从根结点到该结点的路径上的连接数

　　　　树的路径长度：树中每个叶子结点的路径长度之和

　　　　结点带权路径长度：结点的路径长度与结点权值的累加

　　　　树的带权路径长度：WPL 树的所有叶子结点的带权路径长度之和

　　　（2）举例

　　　　

 

　　　　　　　　　　　　　左边　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　右边

　　　　结点的路径长度：　A:1 B:2 C:3 D:3　　　　　　　　　　　　　　　 A:3 B:3 C:2 D:1

　　　　树的路径长度：　　1+2+3+3=9　　　　　　　　　　　　　　　　　1+2+3+3=9

　　　　结点带权路径长度：A:1*5=5 B:2*15=30 C:3*70=210   D:3*10=30        A:15 B:45 C:140   D:10

　　　　树的带权路径长度：275　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　210

　　　　左边的WLP大于右边，所以右边效率更好（WLP越小二叉树性能越高效）