阶乘

阶乘的递归：

递归：

最常见的写法

function factorial(n) 
{
  if (n === 1) return 1;
  return n * factorial(n - 1);
}

factorial(5) // 120

　   上面代码是一个阶乘函数，计算n的阶乘，最多需要保存n个调用记录，复杂度 O(n) 。

       函数调用自身，称为递归，递归十分耗费内存，因为需要同时保存成千上百个调用记录，所以很容易发生“栈溢出（stack overflow）”错误.

       我们知道，函数调用会在内存形成一个"调用记录"，又称"调用帧"（call frame），保存调用位置和内部变量等信息。如果在函数A的内部调用函数B，那么在A的调用记录上方，还会形成一个B的调用记录。等到B运行结束，将结果返回到A，B的调用记录才会消失。如果函数B内部还调用函数C，那就还有一个C的调用记录栈，以此类推。所有的调用记录，就形成一个"调用栈"（call stack)

尾调用优化：

1.什么是尾递归？

答：某个函数的最后一步是调用另一个函数。

例子：

function f(x){
  return g(x);
}
//函数f最后一步是调用函数g，这就是尾调用

function f(x) {
  if (x > 0) {
    return m(x)
  }
  return n(x);
}
//这种m和n都属于尾调用，因为他们都是函数f的最后一步操作

　反例：

// 情况一   
function f(x){
  let y = g(x);
  return y;
}

// 情况二
function f(x){
  return g(x) + 1;
}
//以上两种都不是尾调用，因为还有别的操作。

2.尾调用优化的优点

尾调用之所以与其他调用不同，就在于它的特殊的调用位置。

尾调用优化即只保留内层函数的调用记录。如果所有函数都是尾调用，那么完全可以做到每次执行时，调用记录只有一项，这将大大节省内存。这就是"尾调用优化"的意义。

上面的阶乘递归改写成尾递归的话，只需保留一个调用记录，复杂度为o(1)

function factorial(n, total) {
  if (n === 1) return total;
  return factorial(n - 1, n * total);
}

factorial(5, 1) // 120

3.尾递归的改写

尾递归的实现，往往需要改写递归函数，确保最后一步只调用自身。做到这一点的方法，就是把所有用到的内部变量改写成函数的参数。比如上面的例子，阶乘函数 factorial 需要用到一个中间变量 total ，那就把这个中间变量改写成函数的参数。这样做的缺点就是不太直观，第一眼很难看出来，为什么计算5的阶乘，需要传入两个参数5和1？

两个方法可以解决这个问题。方法一是在尾递归函数之外，再提供一个正常形式的函数。

function tailFactorial(n, total) {
  if (n === 1) return total;
  return tailFactorial(n - 1, n * total);
}

function factorial(n) {
  return tailFactorial(n, 1);
}

factorial(5) // 120
//上面代码通过一个正常形式的阶乘函数 factorial ，调用尾递归函数 tailFactorial ，看起来就正常多了。

　　第二种方法就简单多了，就是采用ES6的函数默认值。

function factorial(n, total = 1) {
  if (n === 1) return total;
  return factorial(n - 1, n * total);
}

factorial(5) // 120
//上面代码中，参数 total 有默认值1，所以调用时不用提供这个值。

4.尾调用总结

递归本质上是一种循环操作。纯粹的函数式编程语言没有循环操作命令，所有的循环都用递归实现，这就是为什么尾递归对这些语言极其重要。对于其他支持"尾调用优化"的语言（比如Lua，ES6），只需要知道循环可以用递归代替，而一旦使用递归，就最好使用尾递归。

 

摘自：http://www.ruanyifeng.com/blog/2015/04/tail-call.html 

（ps：这篇博文太赞）

 

5.算法第二次作业，打印n的阶乘计算的过程：

//尾递归的写法：
#include<iostream>
using namespace std;
int f(int n,int total){
	if (n==1) return total;
	return f(n-1,n*total);
}
int main(){
	int n;
	int total;
	int k=1;
	cout<<"请输入："<<endl;
	cin>>n;
	f(n,total);
	cout<<"f("<<n<<","<<"1)"<<endl;
	for(int i=n-1;i>=1;i--)
	{
		k=(i+1)*k;
	    cout<<"f("<<i<<","<<k<<")"<<endl;	
	}
	cout<<"最后结果="<<f(n,1);
} 

　　

//普通调用过程
#include<iostream>
using namespace std;

int F(int n){
	if(n==1)  return 1;
	return n*F(n-1);
	}

int main(){
	int n;
	cout<<"请输入你要计算的数字阶乘："<<endl;
	cin>>n;
	//打印调用的过程 
	for(int i=n;i>1;i--)
	{
	cout<<"f("<<i<<")="<<i<<"*f("<<i-1<<")"<<endl;
    }
    cout<<"f(1)=1"<<endl;
    cout<<"最后结果="<<F(n);
	return 0;
}