词法分析（二）：词法规则的形式化——正规式与正规集

语法描述的基本概念

复习一下语法描述的基本概念：

字母表：一个有穷字符集，记为Σ
字母表中的每个元素称为字符
Σ上的字（字符串）：由Σ中的字符构成的一个有穷序列
不包含任何字符的序列称为空字，记为ε
Σ^*表示Σ上所有字的全体（Σ上所有字符所能产生的字），包含空字ε

例：设Σ={ a，b }，则
Σ^* = { ε，a，b，aa，ab，bb，ba，aaa，…}

若U、V为Σ^*的两个子集，则U和V的连接（积）定义为
UV = { αβ | α∈U & β∈V }，顺序不可颠倒

例：设U = { a，aa }、V = { b，bb }
则UV = { ab，abb，aab，aabb }

V自身的n次积记为Vⁿ
V⁰ = { ε }
V^*是V的闭包：V^*=V⁰∪V¹∪V²∪V³∪…
V⁺是V的正规闭包：V⁺ = VV^*

例：设U={ a，aa }
U^* = { ε，a，aa，aaa，……}
U⁺ = { a，aa，aaa，aaaa，……}

可以看出正规闭包是不包含 ε 的闭包

正规式与正规集

程序语言都有一定的词法规则，按照这些词法规则产生的单词符号都是一些特殊的字符串，
因此，可以形式化地描述词法规则，即描述了词法规则对应的单词集合

正规式即是词法规则一种形式化描述，对应的单词集合称为正规集

（~~正规式其实就是正则表达式~~ ）

一个字的集合是正规集当且仅当它能用正规式表示
正规式⇔正规集

上面这张图就描述了右边单词表定义的语言的所有的字
因为正规式可以识别语言的所有字，所以可以用正规式进行词法分析

正规式与正规集的递归定义
对于给定的字母表Σ

ε和Φ都是Σ上的正规式，它们所表示的正规集是{ε}和Φ
任何a∈Σ，a是Σ上的正规式，它所表示的正规集是{a}
若U和V都是Σ上的正规式，它们所表示的正规集为L(U)、L(V)，则有
- (U|V)为正规式，表示的正规集为L(U)∪L(V)
- (U·V)为正规式，表示的正规集为L(U)L(V)
- (U)^* 为正规式，表示的正规集为(L(U))^*
  仅由有限次使用上述三个步骤定义的表达式才是Σ上的正规式
  仅由这些正规式表示的字集才是正规集

根据定义
ε是Σ上的一个字，且是正规集{ ε }的正规式，可识别字ε
Φ是一个集合，也是正规式，表示的正规集是Φ
任何a∈Σ，a既是Σ中的字符，又是Σ上的字，还是Σ上的正规式，表示的正规集是{a}

正规式的等价

若两个正规式表示的正规集相同，则称这两个正规式等价

以上证明表示正规式b(ab)^*与(ba)^*b等价

正规式的性质
交换律：e₁|e₂ = e₂|e₁
结合律：e₁|(e₂|e₃) = (e₁|e₂)|e₃ e₁(e₂e₃) = (e₁e₂)e₃ | 及 · 运算均满足结合律
分配律：e₁(e₂|e₃) = e₁e₂|e₁e₃ (e₂|e₃)e₁ = e₂e₁|e₃e₁ | 对 · 及 · 对 | 的运算均满足分配律
eε = εe = e
e₁e₂<>e₂e₁