降维【PCA & SVD】

PCA(principle component analysis)主成分分析

理论依据

  • 最大方差理论
  • 最小平方误差理论

一、最大方差理论(白面机器学习)

对一个矩阵进行降维,我们希望降维之后的每一维数据能够有大的方差。

为什么呢?

因为每一维的方差越大,说明数据之间区分度高,想象一个极端的情况,降维之后的数据集所有维度 都是一样的值,方差为0,那么数据就没什么意义了,因为退化成了一条数据。

二维图生动形象

  1. 推导过程   

对于n个样本,m维特征 (v1, v2, v3 ... vn), vi是m维列向量进行中心化处理后的样本(x1, x2, x3 ... xn) = (v1 - u, v2 - u, v3 - u, vn - u),其中u = 1/n ∑1,nvi

向量内积表示向量在另一个向量上的投影长度,向量 xi 在 w (单位向量)方向上的投影长度(也是投影坐标,因为方向确定)为 (xi, w) = XiTw,目的就是找到一个投影方向w使得x1, x2, x3 ... xnw上方差最大, 其中 x1, x2, x3 ... xn 的均值为0,0 = 1/n ∑1,nxi,

投影之后样本均值 u' = 1/n ∑1,nxiTw = 1/n (∑1,nxiT)w = 0

投影之后样本方差: D(X) = 1/n * ∑1,n(xiTw)2 = 1/n *  1,n(xiTw)T(xiTw) = 1 / n * ∑1,n wTxi xiTw = wT (1 / n * 1,n xi xiT)w, 其中1 / n * 1,n xi xiT是中心化处理后的协方差矩阵(协方差矩阵知识)记作∑,所以现在目标就是求D(X) = wT∑w 在 wTw = 1下的极大值, 构造拉格朗日函数令其导数为 0 (关于向量求导

得:∑w = λw, 带入D(X) = λwTw = λ, 所以投影方向w为协方差矩阵特征向量时,D(x) 有极大值 λ

 2.PCA降维过程

【中心化处理】

    • 对样本进行中心化处理
    • 求样本协方差矩阵
    • 对协方差矩阵进行特征值分解,将特征值从大到小排列。
    • 选取前d大的特征值所对应的特征向量, w1,w2...wd, 将样本n维映射到d维
    • xi' = [w1Txi, w2Txi ... wdTxi]T

       【不需要中心化处理】

  • 对每一维特征求其 均值 Uj,
  • cov(Xj1, Xj2) = (Xj1 - Uj1)T (Xj2 - Uj2), 其中Xj1 表示第一列,是第一维特征的所有样本,(n X 1), n个样本,m维特征。
  • 组成一个 m * m 的协方差矩阵,进行求特征值与特征向量,根据特征值排序
  • 选取前d大的特征值所对应的特征向量, w1,w2...wd, 将样本m维映射到d维
  • X [w1, w2 ... wn] 即为降维到m后结果, X = (n, m) , w1 = (m, 1)  

 

PCA的另一种解法http://www.fuzihao.org/blog/2015/12/04/%E7%90%86%E8%A7%A3PCA%E5%92%8CSVD/

目的:

PCA的目的就是将一个高维矩阵A,通过一种转化,将其变成低维矩阵B,即 AM = B,核心就是求这个M,其中B应该是一个正交阵,每一列都是正交向量

求解推理:

   因为B是正交矩阵,所以BTB = D, D是对角阵,又 B = AM, 所以 (AM)T(AM) = D  =>  ATA = MDM-1, 又ATA是一个对称矩阵,所以可以向量分解,ATA = VΣVT,其中V是AAT的特征向量矩阵,Σ是特征值组成的对角阵,而V是正交阵,故VT = V-1, 所以 M = V, D = Σ

求解流程:

1、对A矩阵每一列进行标准化,(标准化的原因:每一维表示的单位不同,需要去量纲)

2、ATA矩阵求特征值和特征向量

3、根据需要降到的维度k,选择前k大的特征值与其特征向量

4、最后结果A' = V'Σ'VT'

 

SVD

目标:

SVD是想通过 A = UΣVT,其中U V是正交阵,Σ是对角阵,进行降维。

推理:

ATA = (UΣVT)T(UΣVT) = VΣUTUΣVT = VΣ2VT, 所以 右奇异向量(V)是ATA的特征向量

AAT = UΣVTVTΣUT = UΣ2UT ,所以左奇异向量(U)是AAT的特征向量

而Σ2是AAT或ATA的特征值组成的对角阵

 

PCA和SVD区别:https://www.cnblogs.com/bjwu/p/9280492.html

方法上:

PCA需要计算协方差矩阵 ATA,当样本数和特征数很多的时候,这个计算量是相当大的。

SVD也可以得到协方差矩阵 ATA,ATA 最大的k个特征向量张成的矩阵,但是SVD有个好处,有一些SVD的实现算法(什么算法?)可以不求协方差矩阵XTX,也能求出我们的右奇异矩阵V。也就是说,我们的PCA算法可以不用做特征分解,而是做SVD来完成。

      奇异值分解迭代计算比协方差矩阵的特征值分解更快更准确。 

      PCA仅用到了SVD的右奇异矩阵V,没有用左奇异矩阵,左奇异矩阵有什么用呢?

假设我们的样本是m✖️n的矩阵X,如果我们通过SVD找到了矩阵 XTXXTX 的最大的k个特征向量组成的m✖️d维矩阵U,则我们进行如下处理:

     Xd×n=UTd×mXm×n

     可以得到一个d✖️n的矩阵X',且这个矩阵和我们原来的m✖️n维的样本矩阵X相比,行数从m剪到了k,可见对行数进行了压缩。

也就是说,左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的,右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩,也就是我们的PCA降维。

     换句话说,SVD可以获取另一个方向上的主成分,而PCA只能获得单个方向上的主成分。这一点在NLP的文本处理上得到了很大体现。

    应用上:

    两者在输出上都是一样的,唯一的区别在输入,SVD可以输入稀疏矩阵(sparse matrix)。在原理上,也可以说SVD更适于输入稀疏矩阵。
    因为PCA需要进行去均值化处理,所以不可避免的破坏了矩阵的稀疏性。所以,对于稀疏矩阵来说,SVD更适用,这样对于大数据来说节省了很大空间。

参考: 

https://blog.csdn.net/HLBoy_happy/article/details/77146012

https://www.zhihu.com/question/20852004

posted @ 2018-09-20 11:24  zhaop  阅读(342)  评论(0编辑  收藏  举报