P1067Warcraft III 守望者的烦恼(十大矩阵问题之七求递推式)
守望者-warden,长期在暗夜精灵的的首都艾萨琳内担任视察监狱的任务,监狱是成长条行的,守望者warden拥有一个技能名叫“闪烁”,这个技能可以把她传送到后面的监狱内查看,她比较懒,一般不查看完所有的监狱,只是从入口进入,然后再从出口出来就算完成任务了。
描述
头脑并不发达的warden最近在思考一个问题,她的闪烁技能是可以升级的,k级的闪烁技能最多可以向前移动k个监狱,一共有n个监狱要视察,她从入口进去,一路上有n个监狱,而且不会往回走,当然她并不用每个监狱都视察,但是她最后一定要到第n个监狱里去,因为监狱的出口在那里,但是她并不一定要到第1个监狱。
守望者warden现在想知道,她在拥有k级闪烁技能时视察n个监狱一共有多少种方案?
格式
输入格式
第一行是闪烁技能的等级k(1<=k<=10)
第二行是监狱的个数n(1<=n<=2^31-1)
输出格式
由于方案个数会很多,所以输出它 mod 7777777后的结果就行了
限制
各个测试点1s
提示
把监狱编号1 2 3 4,闪烁技能为2级,
一共有5种方案
→1→2→3→4
→2→3→4
→2→4
→1→3→4
→1→2→4
小提示:建议用int64,否则可能会溢出
分析:快被自己蠢哭了,下午5点开始做这道题一直到现在,9点半。
首先这道题要递推,得出递推式 f[n] = f[n-k] + f[n-k+1] + ...+f[n-1];怎么退出的呢?到n点分为起点从1开始,从2开始...从n-k(一个k就到n点了)开始,从1开始的方案数就是f[n-1],从2开始的就相当于从1到n-1,所以可以写成f[n-2],而从n-k点开始的呢,就直接是f[n-k];
求这个递推式用矩阵来构造举例构造:f[n] = f[n-1] + f[n-2]+f[n-3]
可以写成| 0 1 0 | | f[n-3] | | f[n-2] |
| 0 0 1 | * | f[n-2] | = | f[n-1] |
| 1 1 1 | | f[n-1] | | f[n-3] + f[n-2] + f[n-1] |
同理原式可以写成 k * K的矩阵,右上角的(k - 1)*(k - 1)主对角线都是一,第k行全为1;
然后就可以写最原始的那个式子了,即:f[1]...f[k],
最后根据n与k的关系分两种情况,k>=n,直接输出,n>k,利用矩阵快速幂求最后的变化矩阵,然后在用他左乘最原始的式子
弱,弱爆了。。。
1 #include <iostream> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 #include <cstdio> 5 using namespace std; 6 7 int n,k; 8 const int mod = 7777777; 9 struct Mat 10 { 11 __int64 mat[20][20]; 12 }; 13 Mat operator * (Mat a, Mat b) 14 { 15 Mat c; 16 memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat)); 17 for(int t = 1; t <= k; t++) 18 { 19 for(int i = 1; i <= k; i++) 20 { 21 for(int j = 1; j <= k; j++) 22 c.mat[i][j] = ( c.mat[i][j] + a.mat[i][t] % mod * ( b.mat[t][j] % mod ) ) % mod; //就是这里乘法忘了+c.mat[i][j]查了半个小时错,弱爆了 23 } 24 } 25 return c; 26 } 27 Mat operator ^ (Mat a, int t) 28 { 29 Mat c; 30 for(int i = 1; i <= k; i++) 31 for(int j = 1; j <= k; j++) 32 c.mat[i][j] = (i == j); 33 while(t) 34 { 35 if(t & 1) 36 c = a * c; 37 a = a * a; 38 t >>= 1; 39 } 40 return c; 41 } 42 int main() 43 { 44 scanf("%d%d", &k,&n); 45 Mat ori,temp,res; 46 memset(ori.mat, 0, sizeof(ori.mat)); 47 for(int i = 1; i <= k; i++) 48 { 49 for(int j = 1; j < i; j++) //这里是处理最原始的那个式子;假设求f[4] ,那么起点可以前3点作为起点,这个好像也能从自己作为起点,所以有个自加,就像f[1] = 1; 50 { 51 ori.mat[i][1] = (ori.mat[j][1] + ori.mat[i][1]) % mod; 52 } 53 ori.mat[i][1]++; 54 } 55 if(n <= k) 56 { 57 printf("%I64d\n",ori.mat[n][1] % mod); 58 } 59 else 60 { 61 memset(temp.mat, 0, sizeof(temp.mat)); 62 for(int i = 1; i < k; i++) 63 { 64 temp.mat[i][i + 1] = 1; 65 } 66 for(int i = 1; i <= k; i++) 67 temp.mat[k][i] = 1; 68 res = temp ^ (n - k); 69 ori = res * ori; 70 printf("%I64d\n", ori.mat[k][1] % mod); 71 } 72 return 0; 73 }