NYOJ298点的转换（矩阵十大问题之一）

点的变换

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难度：5

 

描述

平面上有不超过10000个点，坐标都是已知的，现在可能对所有的点做以下几种操作：

平移一定距离(M)，相对X轴上下翻转(X)，相对Y轴左右翻转(Y),坐标缩小或放大一定的倍数(S),所有点对坐标原点逆时针旋转一定角度(R)。    

操作的次数不超过1000000次，求最终所有点的坐标。

 

提示：如果程序中用到PI的值，可以用acos(-1.0)获得。

 

输入

只有一组测试数据
测试数据的第一行是两个整数N,M，分别表示点的个数与操作的个数(N<=10000,M<=1000000)
随后的一行有N对数对，每个数对的第一个数表示一个点的x坐标，第二个数表示y坐标，这些点初始坐标大小绝对值不超过100。
随后的M行，每行代表一种操作，行首是一个字符：
首字符如果是M,则表示平移操作，该行后面将跟两个数x,y，表示把所有点按向量(x,y)平移;
首字符如果是X，则表示把所有点相对于X轴进行上下翻转;
首字符如果是Y，则表示把所有点相对于Y轴进行左右翻转;
首字符如果是S，则随后将跟一个数P,表示坐标放大P倍;
首字符如果是R，则随后将跟一个数A,表示所有点相对坐标原点逆时针旋转一定的角度A(单位是度)

输出

每行输出两个数，表示一个点的坐标(对结果四舍五入到小数点后1位，输出一位小数位）
点的输出顺序应与输入顺序保持一致

样例输入

2 5
1.0 2.0 2.0 3.0
X
Y
M 2.0 3.0
S 2.0
R 180

样例输出

-2.0 -2.0
0.0 0.0

来源

经典问题

 

经典题目1 
　　给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。操作有平移、缩放、翻转和旋转
这里的操作是对所有点同时进行的。其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况），旋转则以原点为中心。如果对每个点分别进行模拟，那么m个操作总共耗 时O(mn)。利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时 O(m+n)。假设初始时某个点的坐标为x和y，下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来， 再乘以(x,y,1)，即可一步得出最终点的位置。

注意：m个操作的矩阵连乘时必须左乘

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const double PI = acos(-1);
const int MAX = 10000 + 10;
int n,m;
struct Mat
{
    double a[5][5];
};
Mat mat[MAX];
Mat operator * (Mat a, Mat b)
{
    Mat c;
    memset(c.a, 0, sizeof(c.a));
    for(int k = 1; k <= 3; k++)
    {
        for(int i = 1; i <= 3; i++)
        {
            for(int j = 1; j <= 3; j++)
            {
                c.a[i][j] += a.a[i][k] * b.a[k][j];
            }
        }
    }
    return c;
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%lf%lf", &mat[i].a[1][1],&mat[i].a[2][1]);
        mat[i].a[3][1] = 1;
    }
    Mat res,trans,ans;
    for(int i = 1; i <= 3; i++)
        trans.a[i][i] = 1;
    char order[5];
    double x,y,angle,p;
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        memset(res.a, 0, sizeof(res.a));
        for(int j = 1; j <= 3; j++)
            res.a[j][j] = 1;
        scanf("%s", order);
        if(strcmp(order, "M") == 0)
        {
            scanf("%lf%lf", &x,&y);
            res.a[1][3] = x;
            res.a[2][3] = y;
        }
        else if(strcmp(order, "X") == 0)
        {
            res.a[2][2] = -1;
        }
        else if(strcmp(order, "Y") == 0)
        {
            res.a[1][1] = -1;
        }
        else if(strcmp(order, "S") == 0)
        {
            scanf("%lf", &p);
            res.a[1][1] = p;
            res.a[2][2] = p;
        }
        else if(strcmp(order, "R") == 0)
        {
            scanf("%lf", &angle);
            angle = angle / 180 * PI;
            res.a[1][1] = cos(angle);
            res.a[1][2] = -sin(angle);
            res.a[2][1] = sin(angle);
            res.a[2][2] = cos(angle);
        }
        trans = res * trans;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        ans = trans * mat[i];
        printf("%.1lf %.1lf\n",ans.a[1][1],ans.a[2][1]);
    }
    return 0;
}