凸函数的判断方法及案例

目录：凸集、凸函数、单峰函数、拟凸函数

凸集：凸集中的任意两点的连线仍然处于凸集中。

凸函数：任意两点之间的函数图像都在弦的下方。

凸函数的判别方法：https://blog.csdn.net/hqh131360239/article/details/82751791

常见的凸函数形式如下：

除此之外，对于任意p>1的p-范数也是凸函数，这是指，范数在其实参中都是凸的，不代表任意函数的p-范数是凸的。例如范数||x||是凸函数，但是||sin(x)||并非凸函数。

保凸性操作：

1. 正加权和。凸函数的加权和(权值为正实数)也是凸函数。对积分形式也有效。

2. 逐点最大化。“一系列凸函数中的最大值”该操作也保凸。

3. 复合函数。凸函数的单调函数仍然是凸函数。

复合函数：

 

Example1：

f(x)=(cosh(x))^3：是凸函数，因为g(x)=cosh(x)是凸函数，而h(x)=x^3是单调函数。

单峰函数Unimodal function

凸集中只含有一个一个极大值点的函数。

例如著名的RosenBrock函数，是非凸函数但是是单峰函数。具有全局最小值。单峰函数不一定是凸函数或拟凸函数，但凸函数和拟凸函数都是单峰函数。

 

拟凸函数Quasiconvec function

凸集上任意两点的连线上的函数值，都不大于较大点的函数值。

例如墨西哥帽函数，是非凸函数，但事实拟凸函数。