矩阵秩的定义和相关结论汇总

（本来在CSDN写的，但是CSDN的公式编辑器一言难尽。。还是博客园的舒适）

 

秩的定义：对于矩阵$A \in \mathbb{R}^{m\times n}$，以下陈述为真。（如果$A\in C^{m\times n}$，则用共轭转置替换下述转置）

• 【初等变换】：rank(A)=矩阵A经过行初等变换，所得行阶梯形矩阵的非零行数
• 【初等变换】：rank(A)=矩阵A经过行初等变换，所得行阶梯形矩阵的主元数
• 【线性无关】：rank(A)=矩阵A的线性无关列(行)数，也即以矩阵A的列(行)组成向量组的最大线性无关组
• 【列空间】：rank(A)=dim R(A)=dimR($A^T$)，即矩阵A列空间的维数（即A的列向量组张成空间的维数），也等于A行空间的维数
• 【核空间】：rank(A)=n-dim N(A)=m-dim N($A^T$)，即n-矩阵A零空间的维数
• 【子空间】：rank(A)=矩阵A的最大非奇异子矩阵的行数或列数（方阵）。
• 【奇异值】：rank(A)=矩阵A非零奇异值的个数

相关结论

• $rank(AE)\leq rank(A)$，即对任意矩阵A进行乘法操作，所得矩阵的秩不大于矩阵A的秩。
• $rank(A^TA)=rank(A)=rank(AA^T)$
• $rank(A)+rank(B)-n\leq rank(AB)$
• $rank(AB) \leq min \left \{ rank(A),rank(B) \right \}$
• $rank(A+B) \leq rank(A) + rank(B)$
• 如果矩阵P和矩阵Q都是非奇异矩阵，则有：$rank(A)=rank(PAQ)=rank(PA)=rank(AQ)$
• 对于矩阵$A_{m\times n}$和$B_{n\times p}$，$rank(AB)=rank(B)-dim N(A) \cap R(B)$