非线性方程求根(数值分析)C++

1. 二分搜索

　　经典算法了，数组的二分检索和它相似，不过数组的二分查找要求数组有序，反映在非线性方程求根就是函数单调。不过二分搜索不要求函数单调。因为随着区间长度减半，如果能够求出满足精度的近似解，不断减半的区间内，函数终会单调。

　　需要注意的还有：如果循环结束条件为所求近似根满足精度，如果搜索区间内没有根，那么很有可能无法结束循环，并且设计逻辑比较复杂，根据区间长度是否小于一定长度决定是否结束循环比较合理。

　　params: 区间端点，要求的精度

　　return: 近似解

自己定义一个函数，例如：double fun1(double x) {return x * x * x - x - 1;}

int iterCount = 0;
double binarySearch(double left, double right, double precision) {
    double mid = (left + right) / 2;
    iterCount++;
    printf("\n二分迭代次数为: %d\n", iterCount);
    double result = fun1(mid);
    if (right-left < precision) {
        return mid;
    }
    else if (result * fun1(left) < 0) {
        return binarySearch(left, mid, precision);
    }
    else if (result * fun1(right) < 0) {
        return binarySearch(mid, right, precision);
    }
    else {
        return binarySearch(mid, right, precision);
    }
    return 0;
}

2. 简单迭代法

　　通过移项，使方程等号左侧为x。需要注意的是，迭代方程要保证收敛，如何移项就是考技巧了。需要注意的是，迭代法不需要指定区间，它是自适应的搜索。不过需要指定初始解，这也是启发式算法的特征。

　　以下大体框架也适用于牛顿迭代法，割线迭代法。程序稍加修改就成了。

　　params: 初始解，要求的精度

　　return: 近似解

自己定义一个迭代函数,比如：double fun2(double){ return 0.25*(x * x * x * x * x - 2);}

double simpleIterator(double x0, double err) {
    double f0 = fun2(x0);
    double f1 = fun2(f0);
    double res = f1 - f0;
    iterCount++;
    if (res < 0) {
        res = -res;
    }
    while (true) {
        f0 = f1;
        f1 = fun2(f0);
        double res = f1 - f0;
        if (res < 0) {
            res = -res;
        }
        if (res < err)
            break;
    }
    return f1;
}

 

3. Newton迭代法：基于如果$f(x)=0, f(x)$是线性函数的话，那么其求根是容易的。Newton法本质上就是一种线性化方法，基本思想是将非线性方程$f(x)=0$逐步归结为某种下逆行方程来求解。（《数值分析》孙家广）。$f(x)=f(x_k)+f'(x_k)(x-x_k)+\frac{(x-x_k)^2}{2}f''(\xi)$，通过移项和近似转化为迭代方程$x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$。

程序如下

double func(double x) {
    return x * x * x - x - 1;
}

double funcDiff(double x) {
    return 3 * x * x - 1;
}

double newtonIter(double x0, double MAX_ITER) {
    double preX;
    double x;

    preX = x0;
    x = preX - func(preX) / funcDiff(preX);
    int itercount = 0;
    while (itercount < MAX_ITER) {
        preX = x;
        x = preX - func(preX) / funcDiff(preX);
        itercount++;
    }
    printf("newtonIter : the time of iter is %d\n", itercount);
    return x;
}

 

4. 弦截法(又叫割线迭代法)：其实就是将Newton迭代法中的导数换为插商。尽管比Newton迭代法少计算一个函数值，使得计算更简便，不过初始需要提供两个初始解。

double chordIntercept(double x0, double x1, double err) {
    double preX;
    double x;
    double preF;
    double f;

    preX = x0;
    preF = func(preX);
    x = x1;
    f = func(x);

    double root = x - f * (x - preX) / (f - preF);
    int iterCount = 1;
    while (root - x > err) {
        preX = x;
        x = root;
        preF = f;
        f = func(root);
        root = x - f * (x - preX) / (f - preF);
        iterCount++;
    }
    printf("chordIntercept : the time of iter is %d\n", iterCount);
    return root;
}