主定理的数学证明

 

　　分治算法中有一些算法，仅仅用分支递推公式无法计算出其时间复杂性，因为它的递推方程带有一个幂项，虽然依靠迭代我们仍然可以求出其递推公式，但是这么做未免太复杂浪费时间。

　　这时候我们有一个通法，那就是主定理(master theorem)，根据情况直接套公式就能求出时间复杂性。主定理形式如下

 

设f是满足递推关系

$f(n) = af(n/b) + cn^d$

的增函数，其中$n=b^k$,k是一个正整数,$a \geq1$,b是大于1的整数，c和d是实数，满足c是正的且b是非负的，那么

$ f(n) = \begin{cases} O(n^d), a < b^d \\ O(n^d logn), a = b^d\\ O(n^{log_b a}), a > b^d \end{cases} $

 

证明一下：

Proof：

　　

 

Proof:

假设N是b的幂，令$N = b^m$,假设f(1) = 1,则有

$f(b^m) = af(b^{m-1})+(b^k)^{m}$$\frac{f(b^m)}{a^m} = \frac{f(b^{m-1})}{a^{m-1}}+(\frac{b^k}{a})^{m}$...

将以上累加得

$\frac{f(b^m)}{a^m} = \sum\limits_{i=0}^{m}(\frac{b^k}{a})^i$

因此

$f(b^m) = a^m \sum\limits_{i=0}^{m}(\frac{b^k}{a})^i$

如果$a>b^k$

$f(N)=O(a^m)=O(N^{log_ba})$

如果$a=b^k$

$f(N)=O(a^mlog_bN)=O(N^klogN)$

如果$a < b^k$

$f(N)=\frac{(b^k/a)^{m+1} - 1}{b^k/a - 1} = O(a^m(\frac{b^k}{a})^{m})=O(N^k)$