浅谈设计算法的思想

标准的分治策略：

注：标准的分治策略的定义里面就包含的递归；

解决问题的步骤：

    将问题分解为若干小问题，且每个小问题与大问题同型；

    递归解决这些小问题；

    将子问题的解答合并，获得大问题的解答；    

计算效率的方法：

　 递归表达式 —将抽象的表达式用图形的方式展开，便于理解—>递归树

    替换解法：先猜一个答案，归纳法验证，解决表达式中的常数；

    大师解法：将抽象的递归表达式进行展开，分解合并；将其分为两部分：比较两者的大小（大于，等于，小于，无法比较）；  

典型问题： 求乘方运算，矩阵乘法，斐波那契序列，VLSI布线；

 

动态规划思想：

主要目的：优化，即：以最优方式解决问题；

与分治策略的不同点：

虽也将大问题分解为小问题，且小问题中有许多是重复的，这样有表格存储结果，省的重复计算，从而提高效率；动态规划是对分治思想的一种改善，在

发现分解出来的子问题有重叠时，使用自底向上的策略避免重复计算；

注：动态规划的英文叫Dynamic Programming,其中programing指的是表格查询法；

分治策略解决问题的步骤：

      分析出最优解决方案的结构

　　递归定义这个方案

　　由底至上构建方案；

典型问题： 流水线问题，最长公共子序列，最优二叉搜索树

动态规划和线性规划、非线性规划（静态规划）的关系：

动态规划的核心是找出一个问题包含的子问题及其表现形式；

动态规划比静态规划更容易获得最优解；

动态规划可以得到一组最优解（原问题及子问题的最优解），而非线性规划只能得到全过程的一个最优解；

注：在特定的条件下，动态规划和静态规划是可以相互转换的；

 

贪婪选择思想： 只考虑眼前，每一步都最优，通过局部最优达到全局最优；

     最小生成树：

         Kruskal算法：选边

         Prime算法：选点

     霍夫曼树和编码：

     霍夫曼编码：按照符号出现的频率编码；频率越高，其编码越短；频率越低，其编码越长；

     霍夫曼树：为了方便生成霍夫曼编码，构建一棵带权重的总长为最小的树，即：将频率高的结点置于离树根较近的位置上；

将“树”转换为“码”：将树中所有左边分支赋为0，右边分支赋为1，符号的编码为根到达它所经过的路径标号；

 

标准分治、动态规划、贪婪选择比较：

	标准分治	动态规划	贪婪选择
问题类型	通用问题	优化问题	优化问题
子问题结构	每个子问题不同	很多子问题重复	只有一个子问题
子问题数	全部都要解决	全部都要解决	只需解决一个
选择与求解次序	先选择后解决子问题	先解决子问题后选择	先选择后解决子问题

 

随机化思想：

目的：

1.为了防止最差结果出现；

2.解答我们不能确定性解答的问题；

拉斯维加斯算法：为第一种目的而设计的算法；

蒙特卡罗算法：为第二种目的而设计的算法；

拉斯维加斯保障计算结果的正确性，但不保障算法的时间效率；

蒙特卡罗算法保障了时间效率，但不保障计算结果的正确性；

经典问题：素性测试，矩阵乘积验证器，随机化最小生成树，随机数的生成；