最短路径算法
一、单源点最短路径问题 ：
问题描述：给定带权有向图G＝(V, E)和源点v∈V，求从v到G中其余各顶点的最短路径。
迪杰斯特拉（Dijkstra）提出了一个按路径长度递增的次序产生最短路径的算法。
Dijkstra算法：
基本思想：设置一个集合S存放已经找到最短路径的顶点，S的初始状态只包含源点v，对vi∈V-S，假设从源点v到vi的有向边为最短路径。以后每求得一条最短路径v, …, vk，就将vk加入集合S中，并将路径v, …, vk , vi与原来的假设相比较，取路径长度较小者为最短路径。重复上述过程，直到集合V中全部顶点加入到集合S中。
下一条最短路径（设其终点为vi）或者是弧（v0,vi），或者是中间经过S中的顶点而最后到达顶点vi的路径。
示例：
算法步骤：
① 令S={Vs} ，用带权的邻接矩阵表示有向图，对图中每个顶点Vi按以下原则置初值：
② 选择一个顶点Vj ，使得：dist[j]=Min{ dist[k]| Vk∈V-S }，Vj就是求得的下一条最短路径终点，将Vj 并入到S中，即S=S∪{Vj} 。
③ 对V-S中的每个顶点Vk ，修改dist[k]，方法是：
若dist[j]+Wjk<dist[k]，则修改为：dist[k]=dist[j]+Wjk ("Vk∈V-S )
④ 重复②，③，直到S=V为止。
算法实现：
二、每一对顶点之间的最短路径
问题描述：给定带权有向图G＝(V, E)，对任意顶点vi,vj∈V（i≠j），求顶点vi到顶点vj的最短路径。
解决办法1：每次以一个顶点为源点，调用Dijkstra算法n次。显然，时间复杂度为O(n3)。
解决办法2：弗洛伊德提出的求每一对顶点之间的最短路径算法——Floyd算法，其时间复杂度也是O(n3)，但形式上要简单些。
Floyd算法：
基本思想：对于从vi到vj的弧，进行n次试探：首先考虑路径vi,v0,vj是否存在，如果存在，则比较vi,vj和vi,v0,vj的路径长度，取较短者为从vi到vj的中间顶点的序号不大于0的最短路径。在路径上再增加一个顶点v1，依此类推，在经过n次比较后，最后求得的必是从顶点vi到顶点vj的最短路径。
示例：
数据结构：
图的存储结构：带权的邻接矩阵存储结构
数组dist[n][n]：存放在迭代过程中求得的最短路径长度。迭代公式：
数组path[n][n]：存放从vi到vj的最短路径，初始为path[i][j]="vivj"。
算法实现：
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posted on 2012-11-30 07:31 LinuxPanda 阅读(4143) 评论(0) 编辑 收藏 举报
