力扣01背包和完全背包理论基础
背包最大重量为4，物品如下，问背包能背的物品最大价值是多少？
二维dp数组01背包
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[i][j]表示从下标为[0-i]的物品中任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大为多少
2.确定递推公式
两个方向推导
- 不放物品i：dp[i][j]=dp[i-1][j]
- 放物品：dp[i][j]=dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
3.dp数组初始化
如果背包容量j是0的话，dp[i][0]，无论选取哪些物品，背包价值总和一定为0
dp[0][j]，i为0，存放编号0的物品时，各个容量的背包能存放的最大价值
- j<weight[0]，dp[0][j] = 0
- j>=weight[0] , dp[0][j] = value[0]
4.确定遍历顺序
从左到右，从上到下
5.举例推导
代码：
public static void main(String[] args) { int[] weight = {1, 3, 4}; int[] value = {15, 20, 30}; int bagSize = 4; testWeightBagProblem(weight, value, bagSize); } public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){ int wLen = weight.length, value0 = 0; //定义dp数组：dp[i][j]表示背包容量为j时，前i个物品能获得的最大价值 int[][] dp = new int[wLen][bagSize + 1];
for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
dp[0][j] = value[0];
}//遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量 for (int i = 1; i < wLen; i++){ for (int j = 0; j <= bagSize; j++){ if (j < weight[i]){ dp[i][j] = dp[i - 1][j]; }else{ dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); } } } //打印dp数组 for (int i = 0; i <= wLen; i++){ for (int j = 0; j <= bagSize; j++){ System.out.print(dp[i][j] + " "); } System.out.print("\n"); } }
优化：
具体实现：
1.确定dp数组的定义
dp[j]：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]
2.一维dp数组的递推公式
两个选择：
（1）保持自己，dp[j]相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i
（2）dp[j - weight[i]] + value[i]，把不合适的东西掏出来让背包变成刚好缺物品i重量的背包，放物品i
3.初始化
dp数组内元素都初始化为0
4.遍历顺序
倒序遍历：保证物品i只被放入一次
如果是正序的话：
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30
物品0被放入两次
如果是倒序的话：
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
5.举例
代码：
public static void main(String[] args) { int[] weight = {1, 3, 4}; int[] value = {15, 20, 30}; int bagWight = 4; testWeightBagProblem(weight, value, bagWight); } public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagWeight){ int wLen = weight.length; //定义dp数组：dp[j]表示背包容量为j时，能获得的最大价值 int[] dp = new int[bagWeight + 1]; //遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量 for (int i = 0; i < wLen; i++){ for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--){ dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); } } //打印dp数组 for (int j = 0; j <= bagWeight; j++){ System.out.print(dp[j] + " "); } }
完全背包
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。问背包能背的物品最大价值是多少？
01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上
01背包核心代码
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品 for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量 dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); } }
01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。
而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历
// 先遍历物品，再遍历背包 for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品 for(int j = weight[i]; j < bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量 dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); } }
举例：
//先遍历物品，再遍历背包 private static void testCompletePack(){ int[] weight = {1, 3, 4}; int[] value = {15, 20, 30}; int bagWeight = 4; int[] dp = new int[bagWeight + 1]; for (int i = 0; i < weight.length; i++){ for (int j = 1; j <= bagWeight; j++){ if (j - weight[i] >= 0){ dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); } } } for (int maxValue : dp){ System.out.println(maxValue + " "); } } //先遍历背包，再遍历物品 private static void testCompletePackAnotherWay(){ int[] weight = {1, 3, 4}; int[] value = {15, 20, 30}; int bagWeight = 4; int[] dp = new int[bagWeight + 1]; for (int i = 1; i <= bagWeight; i++){ for (int j = 0; j < weight.length; j++){ if (i - weight[j] >= 0){ dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j]); } } } for (int maxValue : dp){ System.out.println(maxValue + " "); } }
