QOJ7199 Bomb

我们考虑对于前 $i$ 个点观察其导出子图的形态。当前会形成若干强连通分量，假设总共有 $k$ 个。

就一定需要满足其中第 $i$ 个强连通分量能够到达第 $i+1$ 个强连通分量，否则不管后面如何加点都于事无补。因此为了保证强连通分量的极大性，第 $i$ 个强连通分量不能够到达地 $i-1$ 个强连通分量。

考虑当前加入一个点 $i$，对强连通分量产生的变化。

首先，需要满足限制：第 $k$ 个强连通分量要能到达点 $i$，不然必然不合法。

此外，加入点 $i$ 可以看成是先将点 $i$ 作为第 $k+1$ 个连通块。然后我们找到当前 $i$ 向左能够到达最远的强连通分量，假设是第 $p$ 个，那么就可以将的 $p$ 个强连通分量到第 $k+1$ 个连通块合并。

由于我们需要满足上面提到的限制，所以一个暴力的想法是，我们记录每个强连通分量向右到达最远位置。此时，一个性质是，对于新连通块向右到达最远位置，一定是第 $p$ 个强连通分量向右到达最远位置和点 $i$ 向右到达最远位置的较大值。

这是因为，如果存在第 $q(q>p)$ 个强连通分量向右到达最远位置比 $i$ 远，那么说明存在一个点的半径比 $i$ 大，由于它的坐标更左，所以理应在此之前就将第 $p$ 个强连通分量合并了。

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我们关注第一个连通块的信息，假设当前第一个连通块为前 $i$ 个结点，且向右到达最远位置为 $j$（并且对于 $i\ne n$，有 $j>i$），令前 $i$ 个点半径平方和的最小值为 $dp_{i,j}$。

假设下一次第一个连通块拓展位置为 $k$，那么我们先声称 $p\in[i+1\sim k-1]$ 这部分的点，半径一定为 $a_{p+1}-a_p$。

现在，我们来说明一下这部分的最优性。首先，由于前面提到的性质，我们并不关注 $i+1\sim k-1$ 这部分点的向右到达最远位置，当然也不关注它们向左到达的最远位置，仅仅只要求它们能作为连通的一部分就好了。

假设存在点 $p$，满足点 $p$ 到不了点 $p+1$，那么此时一定有 $l<p$，$r\ge p+1$，存在 $l$ 向 $r$ 的连边，那么此时其贡献为 $(a+b)^2$，多出了 $b^2+2ab-c^2$ 的贡献，由于 $b\ge c$，所以必然不优。

或者换一个角度理解，令点 $p$ 向右到达最远位置为 $nxt_p$，那么为了保证连通性，一定需要有 $[p,nxt_p]$ 能将 $[i+1,k-1]$ 覆盖满。

而我们将第 $p$ 个点的半径为 $a_{p+1}-a_p$ 不仅保证了总和是下界，同时还保证了已经分配得尽可能均匀，所以是最优的。

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于是我们考虑转移，枚举点 $k$ 的向右到达最远位置为 $l$。

那么可以得到：

$$dp_{i,j}+\sum_{p=i+1}^{k-1}(a_{p+1}-a_p)^2+\max\{a_l-a_k,a_k-a_i\}^2\to dp_{k,\max\{j,l\}}$$

此时，我们就会意识到 $j$ 的作用是为了限制时刻都满足过程中 $j>i$，直到 $i=n$。

现在，我们考虑优化转移，首先这个 $\sum_{p=i+1}^{k-1}(a_{p+1}-a_p)^2$ 可以用前缀和轻松处理。我们对两个 $\max$ 的取值分类讨论。

1. $\max\{j,l\}$ 的取值为 $l$：

   这个时候，我们发现我们不关心 $j$ 的取值，于是可以看成直接从 $dp_{i,i+1}$ 转移得到。

   1. $\max\{a_l-a_k,a_k-a_i\}$ 的取值为 $a_l-a_k$
      $a_l-a_k\ge a_k-a_i$ 得到 $a_i\ge 2a_k-a_l$。

      我们可以枚举 $k$，再枚举 $l$，双指针可行找到 $i$ 的最大可行值为 $pos$，预处理 $g_p=\min_{t=p}^{i-1}dp_{t,t+1}$ 即可。

   2. $\max\{a_l-a_k,a_k-a_i\}$ 的取值为 $a_k-a_i$

      那么我们可以枚举 $k$，再枚举 $i$，双指针找到 $l$ 的最大值，最后求完之后对 $dp_{i}$ 做一遍后缀 chkmin 即可；

2. $\max\{j,l\}$ 的取值为 $j$：

   朴素的想法是，我们可以使用斜率优化。

   我们分析一下性质，发现由于过程中保持 $j$ 不变，所以此时每次一定是从 $i$ 转移到 $i+1$。

时间复杂度 $O(n^2)$。

暴力代码：

Copy
void zhk() {
    read(n);
    F(i, 1, n) read(a[i]);
    F(i, 2, n) s[i] = s[i - 1] + (ll) (a[i] - a[i - 1]) * (a[i] - a[i - 1]);
    F(i, 1, n)
        F(j, i, n)
            dp[i][j] = INF;
    F(i, 2, n) dp[1][i] = (ll) (a[i] - a[1]) * (a[i] - a[1]);
    F(i, 1, n - 1) {
        F(j, i + 1, n) {
            F(k, i + 1, n) {
                F(l, k, n)
                    chkmin(dp[k][max(j, l)], dp[i][j] + s[k] - s[i + 1] + (ll) max(a[l] - a[k], a[k] - a[i]) * max(a[l] - a[k], a[k] - a[i]));
            }
        }
    }
    cout << dp[n][n] << '\n';
}

转移优化代码：

Copy
void zhk() {
	read(n);
	F(i, 1, n) read(a[i]);
	F(i, 2, n) s[i] = s[i - 1] + (ll) (a[i] - a[i - 1]) * (a[i] - a[i - 1]);
	F(i, 1, n)
		F(j, i, n)
			dp[i][j] = INF;
	F(i, 2, n) dp[1][i] = (ll) (a[i] - a[1]) * (a[i] - a[1]);
	F(i, 2, n) {
		g[i] = INF;
		DF(j, i - 1, 1) g[j] = min(g[j + 1], dp[j][j + 1] - s[j + 1]);
		int pos = 1;
		DF(j, n, i) {
			while (a[i] - a[pos] > a[j] - a[i]) pos++;
			chkmin(dp[i][j], s[i] + g[pos] + (ll) (a[j] - a[i]) * (a[j] - a[i]));
			chkmin(dp[i][j], dp[i - 1][j] + (ll) (a[i] - a[i - 1]) * (a[i] - a[i - 1]));
		}
		pos = n;
		F(j, 1, i - 1) {
			while (a[pos] - a[i] > a[i] - a[j]) pos--;
			chkmin(dp[i][pos], s[i] - s[j + 1] + dp[j][j + 1] + (ll) (a[i] - a[j]) * (a[i] - a[j]));
		}
		DF(j, n - 1, i) chkmin(dp[i][j], dp[i][j + 1]);
	}
	cout << dp[n][n] << '\n';
}