卢卡斯推导组合数模2的性质

卢卡斯推导组合数 \(\bmod 2\)

推导

根据卢卡斯定理，组合数 \(\binom{n}{m}\equiv \binom{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}{\left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor}\times \binom{n \bmod 2}{m \bmod 2} \pmod 2\)。

于是，设 \(n\) 的二进制分解为 \(n=\sum a_i2^i\)，\(m\) 的二进制分解为 \(n=\sum b_i2^i\)。

于是，\(\binom{n}{m}\equiv \sum\binom{a_i}{b_i} \pmod 2\)。

考虑，\(\binom{0}{0}=1,\binom{0}{1}=0,\binom{1}{0}=1,\binom{1}{1}=1\)，于是 \(\binom{n}{m}\equiv 1\pmod 2\) 当且仅当不能出现 \(a_i=0,b_i=1\)，于是即为 \(n\) 在二进制下包含 \(m\)。

套路题

ARC137D

逆应用是我没想到的：CF1770F