算法笔记——泰勒展开

泰勒展开

在 \(x_0=0\) 处的泰勒展开

泰勒展开是对一个 \(n\) 次多项式 \(f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_ix^i\) 变换，这里 \(n\) 可以趋近于 \(\infty\)。

考虑这个多项式的 \(i\) 阶导 \(f^{(i)}(x)=\sum\limits_{j=0}^{n-i}(j+i)^{\underline i}x^j\)。

考虑 \(f^{(i)}(0)=i!a_i\)，于是 \(f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i\)。

在 \(x_0\ne 0\) 处泰勒展开

我们考虑把 \(f(x)\) 向右平移 \(x_0\) 个单位，我们考虑平移自变量，得到 \(g(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_i(x-x_0)^i\)。

考虑 \(g^{(i)}(x_0)=i!a_i\)，于是得到 \(g(x)=\sum\limits_{i=0}^{n} \frac{g^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i\)。

再考虑将 \(g(x)\) 向左平移 \(x_0\) 个单位，我们考虑平移系数，也就是对 \(g^{(i)}(x_0)\) 向左平移 \(x_0\) 个单位，我们发现其实就是 \(f^{(i)}(x_0)\)。

于是我们得到 \(f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i\)。

验证（记录一下）

考虑将 \(f^{(i)}(x_0)\) 和 \((x-x_0)^i\) 展开。

\[\begin{aligned} f(x)&=\sum\limits_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i\\ &=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=i}^{n}\binom{j}{i}a_jx_0^{j-i}\sum_{k=0}^{i}\binom{i}{k}x^k(-x_0)^{i-k}\\ &=\sum_{k=0}^{n}x^k\sum_{j=k}^{n}a_jx_0^{j-k}\binom{j}{k}\sum_{i=k}^{j}(-1)^{i - k}\binom{j-k}{i-k}\\ &=\sum_{i=0}^{n}x^i\sum_{j=i}^{n}a_jx_0^{j-i}\binom{j}{i}\sum_{k=i}^{j}(-1)^{k - i}\binom{j-i}{k-i} \end{aligned} \]

如果对于每个 \(i\) 均满足：

• 当 \(j=i\) 时，\(x_0^{j-i}\binom{j}{i}\sum\limits_{k=i}^{j}(-1)^{k - i}\binom{j-i}{k-i}=1\)

• 当 \(j\ne i\) 时，\(x_0^{j-i}\binom{j}{i}\sum\limits_{k=i}^{j}(-1)^{k - i}\binom{j-i}{k-i}=0\)

那么它就是对的。

考虑：

• 当 \(j=i\) 时，\(x_0^{j-i} = x_0^0=1\), \(\binom{j}{i}=\binom{i}{i}=1\)，\(\sum\limits_{k=i}^{j}(-1)^{k - i}\binom{j-i}{k-i}=(-1)^0\binom{0}{0}=1\)

• 当 \(j\ne i\) 时，\(\sum\limits_{k=i}^{j}(-1)^{k - i}\binom{j-i}{k-i}=0\)，组合数一行的奇偶列互相抵消。