题解 CF1713F【Lost Array】

先考虑第 $0$ 行到第 $n$ 列是怎么推的？

首先，为了方便将第 $0$ 行的数从右往左重标号为 $0, 1, \cdots, n - 1$。我们发现 $(0, i)$ 对于 $(j,n)$ 的贡献是 $C(i + j, i) \pmod 2$，根据 $\text{lucas}$ 定理可得有贡献当且仅当 $i\ \text{and}\ j = 0$。

考虑容斥，枚举 $k$，钦定 $i\ \text{and}\ j$ 在二进制下为 $k$ 的超集，则 $(0,i)$ 向 $(j,n)$ 被贡献次数为 $2^{\text{popcount}(i\ \text{and} \ j)}$。于是，直接异或即可。

所以，我们先考虑求出 $t_i$ 表示 $i$ 为超集的数的异或和（$t$ 为 $a_{0,i}$ 的高维后缀异或和）。

考虑枚举 $i\ \text{and}\ j = k$，于是，$a_{j,n}$ 的值即为 $\bigoplus\limits_{k\in j}^{n} t_k$（$a_{j,n}$ 为 $t_{i}$ 的高维前缀异或和）。

综上，我们发现，从第 $0$ 行推到第 $n$ 列是对 $a_{0,i}$ 先做一遍高维后缀异或和，再做一遍高维前缀异或和。

考虑从第 $n$ 列如何反推第 $0$ 行？

直接倒过来做，先对 $a_{n,j}$ 做一遍高维前缀差分异或和，再做一遍高维后缀差分异或和。（因为是在异或运算下，所以前缀和和前缀差分、后缀和和后缀差分都分别是一个东西）。

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const int N = 5e5 + 10;
int a[N];
signed main() {
	int n; read(n);
	for (int i = 0; i < n; ++i) read(a[i]);
	int lg = log2(n);
	F(i, 0, lg)
		for (int j = 0; j < n; ++j)
			if ((j >> i) & 1) a[j] ^= a[j - (1 << i)];
	F(i, 0, lg)
		for (int j = 0; j < n; ++j)
			if ((j >> i) & 1) a[j - (1 << i)] ^= a[j];
	for (int i = n - 1; ~i; --i) writes(a[i]);
	return 0;
}