题解 CF1713F【Lost Array】

先考虑第 \(0\) 行到第 \(n\) 列是怎么推的？

首先，为了方便将第 \(0\) 行的数从右往左重标号为 \(0, 1, \cdots, n - 1\)。我们发现 \((0, i)\) 对于 \((j,n)\) 的贡献是 \(C(i + j, i) \pmod 2\)，根据 \(\text{lucas}\) 定理可得有贡献当且仅当 \(i\ \text{and}\ j = 0\)。

考虑容斥，枚举 \(k\)，钦定 \(i\ \text{and}\ j\) 在二进制下为 \(k\) 的超集，则 \((0,i)\) 向 \((j,n)\) 被贡献次数为 \(2^{\text{popcount}(i\ \text{and} \ j)}\)。于是，直接异或即可。

所以，我们先考虑求出 \(t_i\) 表示 \(i\) 为超集的数的异或和（\(t\) 为 \(a_{0,i}\) 的高维后缀异或和）。

考虑枚举 \(i\ \text{and}\ j = k\)，于是，\(a_{j,n}\) 的值即为 \(\bigoplus\limits_{k\in j}^{n} t_k\)（\(a_{j,n}\) 为 \(t_{i}\) 的高维前缀异或和）。

综上，我们发现，从第 \(0\) 行推到第 \(n\) 列是对 \(a_{0,i}\) 先做一遍高维后缀异或和，再做一遍高维前缀异或和。

考虑从第 \(n\) 列如何反推第 \(0\) 行？

直接倒过来做，先对 \(a_{n,j}\) 做一遍高维前缀差分异或和，再做一遍高维后缀差分异或和。（因为是在异或运算下，所以前缀和和前缀差分、后缀和和后缀差分都分别是一个东西）。

const int N = 5e5 + 10;
int a[N];
signed main() {
	int n; read(n);
	for (int i = 0; i < n; ++i) read(a[i]);
	int lg = log2(n);
	F(i, 0, lg)
		for (int j = 0; j < n; ++j)
			if ((j >> i) & 1) a[j] ^= a[j - (1 << i)];
	F(i, 0, lg)
		for (int j = 0; j < n; ++j)
			if ((j >> i) & 1) a[j - (1 << i)] ^= a[j];
	for (int i = n - 1; ~i; --i) writes(a[i]);
	return 0;
}