题解 P4449 【于神之怒加强版】
给定n,m,k,计算
\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \mathrm{gcd}(i,j)^k\)
对 \(1000000007\) 取模的结果
前置知识
式子还是正常的推
首先，\(ID_k(x)=x^k\)
\[\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} ID_k(gcd(i,j))
\]
\[\sum_{d=1} ID_k(d)\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} [\gcd(i,j) =d]
\]
\[\sum_{d=1} ID_k(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor} [\gcd(i,j) =1]
\]
\[\sum_{d=1} ID_k(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor} \sum_{D\mid \gcd(i,j)} \mu(D)
\]
\[\sum_{d=1} ID_k(d)\sum_{D=1}^{\min(n,m)}\mu(D)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{dD}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{dD}\rfloor} 1
\]
\[\sum_{d=1} ID_k(d)\sum_{D=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}\mu(D)\lfloor \frac{n}{dD} \rfloor \lfloor \frac{m}{dD} \rfloor
\]
设 \(T=dD\)
\[\sum_{T=1}\lfloor \frac{n}{T} \rfloor \lfloor \frac{m}{T} \rfloor \sum_{d|T} ID_k(d) \mu(\frac{T}{d})
\]
我们发现后面这个东西就是狄利克雷卷积
我们管它叫 \(f\) 函数
也就是说
\[f=ID_k*\mu
\]
由于积性函数卷积性函数还是积性函数
对于 \(x\in prime\) \(f(x)=x^k-1\)
这样子就直接在线性筛的时候算一下就好了
代码：
void sieve(){
f[1]=1;
for(int i=2;i<MAXN;i++){
if(!vis[i]){
prime[++prime[0]]=i;
f[i]=(pw(i,k)-1+Mod)%Mod;
}
for(int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<MAXN;j++){
vis[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j]==0){f[i*prime[j]]=f[i]*(f[prime[j]]+1)%Mod;break;}
f[i*prime[j]]=f[i]*f[prime[j]]%Mod;
}
}
for(int i=1;i<MAXN;i++)s[i]=(s[i-1]+f[i])%Mod;
}
