题解 P6148 【[USACO20FEB]Swapity Swapity Swap S】

前言

考场上没想到用倍增，呜呜呜~，只写了个找循环节，然后就 $30$ 分。

正文

分析#

考虑用倍增，其实这道题和这道题是有异曲同工之处的。

我们 $f_{ij}$ 记录第 $j$ 个元素，经过 $2^i$ 次翻转后，这个元素的值。

求 $f_{0,j}$#

好，那么显然，我们要先求出 $f_{0,j}$。

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read(n);read(m);read(k);//读入
for(int i=1;i<=m;i++)read(a[i]),read(b[i]);//读入
for(int i=1;i<=n;i++)c[i]=i;//给c数组赋初值
for(int i=1;i<=m;i++)reverse(c+a[i],c+b[i]+1);//模拟
for(int i=1;i<=n;i++)f[0][i]=c[i];//经过1次翻转第i个元素的值为c[i]

写倍增#

因为 $2^i=2^{i-1}+2^{i-1}$

所以，$f_{i,j}=f_{i-1,f_{i-1,j}}$

给第 $j$ 个元素操作 $2^{i-1}$ 次，再操作 $2^{i-1}$ 次，就相当于直接操作 $2^i$ 次。

学过 $LCA$ 的应该都会。

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for(int i=1;i<=30;i++)
	for(int j=1;j<=n;j++)
		f[i][j]=f[i-1][f[i-1][j]];//就是之前的公式

得到答案#

我们知道，任何一个十进制整数都是可以转成二进制形式

这里的话，我们就拆分 $k$。这里的步骤也很像 $LCA$。

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for(int i=1;i<=n;i++){
	int x=i,m=k;
	for(int j=30;j>=0;j--)
		if(m>=(1ll<<j)){
			m-=(1ll<<j);//拆
			x=f[j][x];//操作
		}
	writen(x);//输出
}

复杂度#

这个复杂度显然是 $O(n \log k)$ 是一个不错的复杂度。

总代码#

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T>inline void read(T &FF){
	T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
	for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
	for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
	FF*=RR;
}
template<typename T>inline void write(T x){
	if(x<0)putchar('-'),x*=-1;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+48);
}
template<typename T>inline void writen(T x){
	write(x);
	puts("");
}
const int MAXM=1e2+10,MAXN=1e5+10;
int n,m,k,a[MAXM],b[MAXM],c[MAXN],f[35][MAXN];
int main(){
	read(n);read(m);read(k);
	for(int i=1;i<=m;i++)read(a[i]),read(b[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)c[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;i++)reverse(c+a[i],c+b[i]+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)f[0][i]=c[i];
	for(int i=1;i<=30;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			f[i][j]=f[i-1][f[i-1][j]];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x=i,m=k;
		for(int j=30;j>=0;j--)
			if(m>=(1ll<<j)){
				m-=(1ll<<j);
				x=f[j][x];
			}
		writen(x);
	}
	return 0;
}

后记

感谢 @LightningUZ 帮我调了这道题的代码，帮我调出了一个小错误。

如果题解有误，欢迎在下面评论或私信我，使得这篇题解更好。