题解 SP1716 【GSS3 - Can you answer these queries III】

前言

首先说一下题意。就是每次给出 $x$ 和 $y$ 两个数，求 $x$ 到 $y$ 这个区间的最大子段和。

正文

分析#

首先我们看这个数据范围，我们显然是要用线段树来做这道题。

我们考虑如何 pushup。

pushup 的操作#

区间最大子段和#

我们考虑一个区间的最大子段。

我们分 $3$ 种情况讨论：

1. 有可能是左边部分的最大子段和

答案就是左边部分的最大子段和。

2. 也有可能右边部分的最大子段和

答案就是右边部分的最大子段和。

3. 最大最大和有可能跨越了中间

答案就是左边部分右端点往左的最大子段和 $+$ 左端点往右的最大子段和。

发现#

所以，我们需要对于所有节点，还要维护它们以左端点往右的最大子段和、右端点往左的最大子段和。

我们再考虑如何维护一个区间以左端点往右的最大子段和、右端点往左的最大子段和。

以左端点往右的最大子段和#

我们先考虑以左端点往右的最大子段和。

我们分 $2$ 种情况讨论：

1. 不跨越中间

答案就是左部分的以左端点往右的最大子段和。

2. 跨越中间

答案就是左部分的和 $+$ 右部分以左端点往右的最大子段和。

以右端点往左的最大子段和#

我们先考虑以右端点往左的最大子段和。

我们分 $2$ 种情况讨论：

1. 不跨越中间

答案就是右部分的以左端点往右的最大子段和。

2. 跨越中间

答案就是右部分的和 $+$ 左部分以右端点往左的最大子段和。

发现#

我们发现我们还需要维护区间和，这个问题很简单，不再讲解了。

所以我们现在总共要维护 $4$ 个东西。

分别是：

$lans$、$rans$、$ans$、$sum$。

边界情况——即整个区间是一个点#

我们可以发现：

$lans$、$rans$、$ans$、$sum$ 都为这个点的值。

代码#

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Tree pushup(Tree L,Tree R){
	Tree z;
	z.sum=L.sum+R.sum;//和
	z.l=max(L.l,L.sum+R.l);//2种情况
	z.r=max(R.r,R.sum+L.r);//2种情况
	z.ans=max(max(L.ans,R.ans),L.r+R.l);//3种情况
	return z;
}

这里我写了一个带返回值的函数，就是为了下面方便啦。

查询#

上文已经讲解了最大子段和的 $3$ 中情况，已经知道最大子段和跟 $4$ 个东西有关。

所以我们要定义一个返回值为 $Tree$ 的函数。

那么现在，关键就在于合并区间，那么现在之前的pushup就可以被调用了。

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Tree query(int x,int y,int num,int l,int r){
	if(x<=l&&r<=y)return t[num];
	int mid=(l+r)>>1;
	if(y<=mid)return query(x,y,ls,l,mid);//右区间和查询区间没有交，答案当然在左区间
	if(mid<x)return query(x,y,rs,mid+1,r);//左区间和查询区间没有交，答案当然在右区间
	return pushup(query(x,mid,ls,l,mid),query(mid+1,y,rs,mid+1,r));//是不是很简洁？
}

代码#

我们已经把这道题的重点都搞清楚了，接下来就可以放代码了，至于单点修改不会的请自行去学习。

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#include <bits/stdc++.h>
#define ls num<<1
#define rs num<<1|1
using namespace std;
template<typename T>inline void read(T &FF){
	T RR=1;FF=0;char CH=getchar();
	for(;!isdigit(CH);CH=getchar())if(CH=='-')RR=-1;
	for(;isdigit(CH);CH=getchar())FF=(FF<<1)+(FF<<3)+(CH^48);
	FF*=RR;
}
template<typename T>void write(T x){
	if(x<0)putchar('-'),x*=-1;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+48);
}
template<typename T>void writen(T x){
	write(x);
	puts("");
}
const int MAXN=5e4+10;
struct Tree{
	int sum,l,r,ans;//维护的4个量
}t[MAXN*4];
int a[MAXN],f,x,y;
Tree pushup(Tree L,Tree R){
	Tree z;
	z.sum=L.sum+R.sum;//和
	z.l=max(L.l,L.sum+R.l);//2种情况
	z.r=max(R.r,R.sum+L.r);//2种情况
	z.ans=max(max(L.ans,R.ans),L.r+R.l);//3种情况
	return z;
}
void build(int l,int r,int num){//建树
	if(l==r){
		t[num].sum=a[l];
		t[num].l=a[l];
		t[num].r=a[l];
		t[num].ans=a[l];//边界初始化
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(l,mid,ls);
	build(mid+1,r,rs);
	t[num]=pushup(t[ls],t[rs]);//pushup
}
void change(int l,int r,int num){//单点修改
	if(l==r){
		t[num].sum=y;
		t[num].l=y;
		t[num].r=y;
		t[num].ans=y;//边界初始化
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid)change(l,mid,ls);
	else change(mid+1,r,rs);
	t[num]=pushup(t[ls],t[rs]);
}
Tree query(int x,int y,int num,int l,int r){
	if(x<=l&&r<=y)return t[num];
	int mid=(l+r)>>1;
	if(y<=mid)return query(x,y,ls,l,mid);//右区间和查询区间没有交，答案当然在左区间
	if(mid<x)return query(x,y,rs,mid+1,r);//左区间和查询区间没有交，答案当然在右区间
	return pushup(query(x,mid,ls,l,mid),query(mid+1,y,rs,mid+1,r));//是不是很简洁？
}
int main(){
	int n,T;
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
	build(1,n,1);
	read(T);
	while(T--){
		read(f);read(x);read(y);
		if(f==0)change(1,n,1);
		else writen(query(x,y,1,1,n).ans);
	}
	return 0;
}