牛顿二项式定理

二项式定理

二项式定理（英语：binomial theorem），又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出.

\[\begin{split}(x+y)^n=\sum_{k=0}^nC(_n^k)x^ky^{n-k}\end{split} \]

证明：

​ 首先补充一个知识

​ \(C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}\)

​ 根据定义很容易得出，对第n个元素，有2种选择，

​ 1.选 2.不选；

​ 选对应\(C_{n-1}^{m-1}\),不选对应\(C_{n-1}^m\)

​ 再由加法原理得到上式.

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​ 接下来开始我们的证明

​ 数学归纳法。当n=1时，

​ \((x+y)^1=C_1^0x+C_1^1y=x+y\)

​ 显然成立.

​ 当n=m+1时，假设对n=m成立.

​

\[\begin{split}(x+y)^{m+1}=(x+y)(x+y)^m=(x+y)(\sum_{k=0}^n C_m^kx^ky^{m-k})\\=\sum_{k=0}^mC_m^kx^{k+1}y^{m-k}+\sum_{k=0}^mC_m^kx^ky^{m-k+1}\qquad\ \ \\=\sum_{k=1}^{m+1}C_m^kx^ky^{m-k+1} +\sum_{k=0}^mC_m^kx^ky^{m-k+1}\qquad\ \\ =\sum_{k=0}^{m+1}(C^{k-1}_m+C^l_m)x^ky^{m-k+1}\qquad\qquad\qquad\ \ \\ =\sum_{k=0}^{m+1}C_{m+1}^{k}x^ky^{m+1-k}\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ \ \ \ \ \end{split}\ \]

​ 证毕
不会这么水吧，还是稍微分析一下
第一行：就是拆开了，由于用的是数学归纳法，假设n=m时已经成立了，就可以直接用二项式定理
第二行：乘法分配律，乘进去就完了
第三行：将前面这项的k换成k+1
第四行：和式加法
第五行：刚才补充的知识