数论
数论
第一章：整除理论
(2)整除的基本知识
定义1：
设 a,b ∈ Z , a ≠ 0，如果存在 q ∈ Z , 使得 b=aq，那么就说 b 可被 a 整除，记作 b | a，且称 b 是 a 的倍数，
a 是 b 的约数。
定理1：
a | b <=> -a | b <=> a | -b <=> |a| | |b|。
(3)带余数除法
定理1：
设 a,b 是两个给定的整数，a ≠ 0，那么一定存在唯一的一对整数 q 与 r，满足
b = aq + r，0 ≤ r < |a|。
定理2：
设 a,b 是两个给定的整数，a ≠ 0，再设 d 是一给定的整数，那么一定存在唯一的一对整数 q 与 r，满足
b = aq + r，d ≤ r < |a|+d。
(4)最大公约数理论
定理5：
设 GCD(m,a) = 1，则有 GCD(m,ab) = GCD(m,b)，这就是说“求 m 与另一个数的最大公约数时，可以把另一个数中与 m 互素的因数去掉”。
定理6：
设 GCD(m,a) = 1，那么若 m | ab，则 m | b，这就是说“若一个数被 m 整除，则把这个数中与 m 互素的因数去掉后仍被 m 整除”。
定理7：
LCM[ a,b ] × GCD(a,b) = |ab|。
定理8：
GCD(a,b) = GCD(a,b-a) = GCD(b,b-a)。
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(5)最大公约数与最小公倍数
(a,b) = a 与 b 的最大公约数。
[a,b] = a 与 b 的最小公倍数。
定理1：
GCD(a,b) = GCD(-a,b) = GCD(a,-b) = GCD( |a| , |b| )。
定理2：
LCM[a,b] = LCM[-a,b] = LCM[a,-b] = LCM[ |a| , |b| ]。
第三章：同余的基本知识
(1)同余的定义及基本性质
定义1：
设 m ≠ 0，若 m | a-b，即 a-b = km，则称 m 为模，a 同余于 b 模 m ，b 是 a 对模 m 的剩余，记作
a ≡ b (mod m)；
因为 m | a-b = (-m) | a-b，所以以后总假设 m ≥ 1。
性质1：
· a+c ≡ b+c (mod m)；
· a-c ≡ b-c (mod m)；
· a*c ≡ b*c (mod m)；
性质2：
如果 ac ≡ bc (mod m) 那么 a ≡ b (mod m div GCD(m,c) )。
证明如下：
由同余定理，模运算规则如下：
(2)同余类与剩余系
定义1（同余类或剩余类）：
把全体整数分成这样的若干个两两不相交的集合，使得在同一个集合中的任意两个数对模m 一定同余；
而属于不同集合中的两个数对模m一定不同余；
每一个这样的集合称为模m的同余类或模m的剩余类；
例如：模3的同余类有
{0,3,6,...,3*k},{1,4,7,....,3*k+1},{2,5,8,.....3*k+2}
我们以 r mod m 表示 r 所属的模m的同余类；
例如上例，如果 r = 0，那么 r 所属的模m的同余类为{0,3,6,...,3*k}；
定义2（完全剩余系）：
一组数 y1,y2,.....ym 称为模 m 的完全剩余系，当且仅当对任意的整数 a 有且仅有一个 yj 使得同余式a ≡ yj (mod m)成立。
简言之，对于任意 i,j ∈ [1,m],且 i ≠ j，有 m%yi ≠ m%yj。
从模m的每个同余类中各挑一个元素组成的集合就是模m的完全剩余系。
{0,1,2,.....,m-1}是最简单的一个模m的完全剩余系；
定义3（既约（或互素）同（剩）余类）：
在模m的同余类 r mod m 中，如果GCD(r,m) == 1，就称 r mod m 为模m的既约同余类；
模m的所有既约同余类的个数记作φ(m)，通常称为Euler函数。
定义4（既约（互素）剩余系）：
模 m 的既约剩余系是 m 的完全剩余系中与 m 互素的数构成的子集；
易得，模 m 的既约剩余系中的元素的个数为 φ(m)。
例如， m = 10，m的一个完全剩余系为{0,1,2,......,9}，其中与10互素的数组成的集合为 { 1,3,7,9 } ，并且任何两个元素模 10 不同余，；
{ 1,3,7,9 } 就为模 m 的一个既约剩余系，φ(10) = 4。
定理4：
设 m1 | m，那么对任意 r 有
r mod m ⊆ r mod m1;
定理4证明
定理4'：
设 m1 | m，那么对任意 r，同余式 n ≡ r(mod m1) 成立的充要条件是以下 d=m/m1 个同余式
n ≡ r + j*m1(mod m);( j∈[0,d-1])
有且仅有一个成立。
定理4'证明
定理6：
模m的所有不同的既约同余类是
r mod m , GCD(r,m) = 1, 1≤ r ≤ m;
φ(m)=1,2,...,m 中和m既约的数的个数。
定理7：
（1）在任意取定的 φ(m)+1 个均和 m 既约的整数中，必有两个数对模m同余。
（2）存在φ(m)个数两两对模m不同余且均和m既约。
(3)Euler函数φ(m)的求解
定理1：如果 k 为素数，那么 φ(k) = k-1
