最小生成树 2

图的应用

最小生成树

1．最小生成树的概念

若从图的某顶点出发，可以系统地访问到图中所有顶点，则遍历时经过的边和图的所有顶点所构成的子图，称作该图的生成树。（此定义不仅仅适用于无向图，对有向图同样适用。）

（1）若G是强连通的有向图，则从其中任一顶点v出发，都可以访问遍G中的所有顶点，从而得到以v为根的生成树。

（2）若G是有根的有向图，设根为v，则从根v出发可以完成对G的遍历，得到G的以v为根的生成树。

构造生成树有两种方法，即深度优先生成树和广度优先生成树。

所谓深度优先生成树，使用深度优先搜索方法遍历一个连通图，所经过的边和顶点构成一棵树。

广度优先生成树是指使用深度优先搜索方法遍历一个连通图，所经过的边和顶点构成一棵树。

图6-12 (a)、(b)所示的均为图6-11(a)的无向连通图的深度优先生成树和广度优先生成树。

(a) 深度优先生成树 (b) 广度优先生成树

图6-12 无向连通图g的两棵生成树

如果无向连通图是一个网，那么，它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，我们称这棵生成树为最小生成树，简称为最小生成树(也称最小代价生成树) 。

最小生成树的概念可以应用到许多实际问题中。例如有这样一个问题：以尽可能抵的总造价建造城市间的通讯网络，把十个城市联系在一起。在这十个城市中，任意两个城市之间都可以建造通讯线路，通讯线路的造价依据城市间的距离不同而有不同的造价，可以构造一个通讯线路造价网络，在网络中，每个顶点表示城市，顶点之间的边表示城市之间可构造通讯线路，每条边的权值表示该条通讯线路的造价，要想使总的造价最低，实际上就是寻找该网络的最小生成树。

下面介绍两种常用的构造最小生成树的方法。

2．构造最小生成树的Prim算法

假设G＝（V，E）为一网图，其中V为网图中所有顶点的集合，E为网图中所有带权边的集合。设置两个新的集合U和T，其中集合U用于存放G的最小生成树中的顶点，集合T存放G的最小生成树中的边。令集合U的初值为U＝{u1}（假设构造最小生成树时，从顶点u1出发），集合T的初值为T＝{}。Prim算法的思想是，从所有u∈U，v∈V－U的边中，选取具有最小权值的边（u，v），将顶点v加入集合U中，将边（u，v）加入集合T中，如此不断重复，直到U＝V时，最小生成树构造完毕，这时集合T中包含了最小生成树的所有边。

Prim算法可用下述过程描述，其中用wuv表示顶点u与顶点v边上的权值。

（1）U＝{u1},T={};

（2）while (U≠V)do

(u，v)＝min{wuv；u∈U，v∈V－U }

T＝T＋{(u，v)}

U＝U＋{v}

（3）结束。

图6-13 (a)所示的一个网图，按照Prim方法，从顶点1出发，该网的最小生成树的产生过程如图6-13(b)、(c)、(d)、(e)、(f)和(g)所示。50 40 55 42 32 35 30 40 20 60

(a) (b) (c)

445

(d) (e) (f)

(g) (h)

图6-13 Prim算法构造最小生成树的过程示意

3．构造最小生成树的Kruskal算法

单击查看

Kruskal算法是一种按照网中边的权值递增的顺序构造最小生成树的方法。其基本思想是：设无向连通网为G＝（V，E），令G的最小生成树为T，其初态为T＝（V，{}），即开始时，最小生成树T由图G中的n个顶点构成，顶点之间没有一条边，这样T中各顶点各自构成一个连通分量。然后，按照边的权值由小到大的顺序，考察G的边集E中的各条边。若被考察的边的两个顶点属于T的两个不同的连通分量，则将此边作为最小生成树的边加入到T中，同时把两个连通分量连接为一个连通分量；若被考察边的两个顶点属于同一个连通分量，则舍去此边，以免造成回路，如此下去，当T中的连通分量个数为1时，此连通分量便为G的一棵最小生成树。

对于图6-14(a)所示的网，按照Kruskal方法构造最小生成树的过程如图6-15所示。在构造过程中，按照网中边的权值由小到大的顺序，不断选取当前未被选取的边集中权值最小的边。依据生成树的概念，n个结点的生成树，有n－1条边，故反复上述过程，直到选取了n－1条边为止，就构成了一棵最小生成树。