快速幂与大数乘积取模

快速幂：

计算a^n%p的值，怎么算呢？直接算当然可能溢出。我们有一条引理：(a*b)%p=((a%p)*(b%p))%p.在这个引理上进行指数上的合并从而得到快速幂算法。

具体地，有两种思路，一种是减小a值，以防溢出，一种是减小b值，加快计算。

怎么减小a值？a=a%p，就把a的值降到了p以下。对b呢，我们发现，( a%p)*(a%p)=(a^2)%p，如果a^n次方n为偶数，a^(2m)%p = ((a^2)^m)%p，如果n为奇数，就先单独乘一个a，剩下的又是偶数了，这样n为偶数时就可以把n减小一半，从而降低了b的规模。

大数乘取余：

计算(a*b)%p怎么办？((a%p)*(b%p))%p还是会溢出。

下面用到一种思想，神奇与上面的快速幂有异曲同工之妙，把b看成二进制表示。

举个栗子：4*13%p，看成是4*1101(2)%p，其实表示的是4*(1*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0)%p，那么我们在计算的时候就把b看成二进制，如果二进制最后一位是1，就说明这一位应该乘a取余，为零说明这一位不用乘a，从低位开始不断将b的二进制式右移，同时将a乘以2，等同于把基数平方，原因见上式。

代码：

#include <iostream>
using namespace std;
long long q_mod(long long a,long long n,long long p)
{
    a = a%p;
    //首先降a的规模
    long long sum = 1;//记录结果
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            sum = (sum*a)%p;//n为奇数时单独拿出来乘
        }
        a = (a*a)%p;//合并a降n的规模
        n /= 2;
    }
    return sum;
}
long long q_mul(long long a,long long b,long long p)
{
    long long sum = 0;
    while(b)
    {
        if(b&1)//如果b的二进制末尾是零
        {
            (sum += a)%=p;//a要加上取余
        }
        (a <<= 1)%=p;//不断把a乘2相当于提高位数
        b >>= 1;//把b右移
    }
    return sum;
}

可以发现两者非常的相似，差别在于结果变量的初值和计算中加号和乘号的区别。

参考文章：

这几篇写得还是比较清晰的：

六小聪，ACM算法：快速幂取模（详细），https://blog.csdn.net/dbc_121/article/details/77646508

ygeloutingyu，大数乘法取模运算（二进制），https://www.cnblogs.com/geloutingyu/p/5886626.html