离散时间信号的傅里叶变换

摘抄整理自《数字信号处理》第二版，吴镇扬，高等教育出版社12页，1.2节离散时间信号的傅里叶变换与z变换。

像模拟信号一样，离散时间信号或数字信号序列（这里用词相当严谨，数字信号序列取值上是离散的而离散时间信号则不一定）也存在着傅里叶变换，通常称为离散时间信号的傅里叶变换，即DTFT（Discrete-Time Fourier Transform）。序列x(n)的DTFT定义为

$X({e^{jw}}) = \sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {x(n){e^{ - jwn}}} $　　（1.9）

式中w为数字角频率，它是频率f对采样频率fs作归一化后的角频率

$w = \frac{{2\pi f}}{{{f_s}}}$

显然X(e^jw)是w的连续函数，并且是以2π为周期的。（1.9）式的级数不一定总是收敛的，例如x(n)为单位阶跃序列，级数就不收敛。（1.9）式收敛的充分条件为：

$\sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {\left| {x(n){e^{ - jwn}}} \right|}  = \sum\limits_{n =  - \infty }^\infty  {\left| {x(n)} \right|}  < \infty $

即x(n)绝对可和，则它的DTFT一定存在。同时，也可以推断，有限长序列总是满足绝对可和条件的，其DTFT也总是存在的。

用e^jwn乘以（1.9）式的两边，并在w的一个周期内积分，可得

$\begin{array}{c}
\int\limits_{ - \pi }^\pi {X({e^{jw}}){e^{jwm}}dw} = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\left[ {\sum\limits_{n = - \infty }^\infty {x(n){e^{ - jwn}}} } \right]} {e^{jwm}}dw\\
= \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {x(n)\int\limits_{ - \pi }^\pi {{e^{jw(m - n)}}} dw} \\
= 2\pi \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {x(n)\delta (m - n)}
\end{array}$

注释：上式中，m和n是表示序列的位置，取值离散，即m要么等于n，要么为不等于n的其他整数，在这个前提下，积分结果可分情况讨论得出。注意到这里δ(m-n)是单位序列（离散）而不是冲激函数（连续）。

即

$x(n) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi  {X({e^{jw}}){e^{jwn}}dw} $ 

这就是离散时间信号的逆傅里叶变换（IDTFT）的公式。