数据结构-图

图的基本介绍：

为什么要有图：

前面我们学了线性表和树
线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
树也只能有一个直接前驱也就是父节点
当我们需要表示多对多的关系时，这里我们就用到了图。

图的举例说明

　　图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。结点也可以称为顶点。如图：

图的常用概念

顶点(vertex)
边(edge)
路径
无向图（见下图）

5、有向图

6、带权图

图的表示方式

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）

邻接矩阵

　　邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于 n 个顶点的图而言，矩阵是的 row 和 col 表示的是 1... n个点。

说明：拿第一排的数字来说：

0跟1可以直接连通，表示1

0跟2可以直接连通，表示1

0跟3可以直接连通，表示1

0跟4可以直接连通，表示1

0跟5不可以直接连通，表示0

以此类推……

邻接表

邻接矩阵需要为每个顶点都分配 n 个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成

图的快速入门附代码实现

需求以及思路分析：

要求: 代码实现如下图结构：

思路分析：

(1) 存储顶点 String 使用 ArrayList

(2) 保存矩阵 int[][] edges

(3) 表示边的条数

代码实现：

/**
 * @author zhangzhixi
 * @date 2021/3/13 23:24
 */
public class Chart {
    public static void main(String[] args) {
        // 创建5个顶点的数据
        int n = 5;
        // 顶点的值
        String[] vertexValues = {"A", "B", "C", "D", "E"};
        // 创建图
        ChartDemo chart = new ChartDemo(n);

        // 循环的给图添加顶点信息
        for (String vertexValue : vertexValues) {
            chart.addVertex(vertexValue);
        }

        // 顶点下标：A(0) B(1) C(2) D(3) E(4)
        // 添加边：A-B A-C B-E B-D B-C
        chart.addEdge(0, 1, 1);
        chart.addEdge(0, 2, 1);
        chart.addEdge(1, 4, 1);
        chart.addEdge(1, 3, 1);
        chart.addEdge(1, 2, 1);

        // 打印这个图
        chart.getChart();
    }
}

/**
 * 图
 */
class ChartDemo {
    /**
     * 图的顶点
     */
    private ArrayList<String> vertexList;
    /**
     * 表示邻阶矩阵
     */
    private int[][] edges;
    /**
     * 表示边的条数
     */
    private int numEdges;

    /**
     * @param e 表示图的顶点数量
     */
    public ChartDemo(int e) {
        // 初始化矩阵跟图的顶点
        edges = new int[e][e];
        vertexList = new ArrayList<>(e);
        numEdges = 0;
    }

    /**
     * 添加节点的方法
     *
     * @param vertex 图的顶点
     */
    public void addVertex(String vertex) {
        vertexList.add(vertex);
    }

    /**
     * 添加图的边的方法
     *
     * @param vertex1 ：表示顶点1
     * @param vertex2 ：表示顶点2
     * @param Weight  ：表示v1.v2的权值(能连接表示1，不能直接连接表示0)
     */
    public void addEdge(int vertex1, int vertex2, int Weight) {
        edges[vertex1][vertex2] = Weight;
        edges[vertex2][vertex1] = Weight;
        // 每加一个边就让边的条目数+1
        numEdges++;
    }

    /**
     * 返回图的顶点数量
     */
    public int vertexCount() {
        return vertexList.size();
    }

    /**
     * 返回图的边的数量
     */
    public int edgeCount() {
        return numEdges;
    }

    /**
     * 返回节点下标对应的数据
     *
     * @param i 节点的下标
     */
    public String getValueByIndex(int i) {
        return vertexList.get(i);
    }

    /**
     * 返回v1跟v2下标对应的权值
     *
     * @param v1
     * @param v2
     */
    public int getWeight(int v1, int v2) {
        return edges[v1][v2];
    }

    /**
     * 打印邻阶矩阵(遍历二维数组)
     */
    public void getChart() {
        for (int[] edge : edges) {
            for (int i : edge) {
                System.out.print(i + "\t");
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

打印图的结果，看是否与上面的要求匹配：

图的深度优先算法(DFS)：回溯遍历

图遍历介绍

　　所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略:

(1)深度优先遍历

(2)广度优先遍历

深度优先遍历基本思想

　　图的深度优先搜索(Depth First Search) 。

1) 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点，可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。

2) 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。

3) 显然，深度优先搜索是一个递归的过程

深度优先遍历算法步骤

1) 访问初始结点 v，并标记结点 v 为已访问。

2) 查找结点 v 的第一个邻接结点 w。

3) 若 w 存在，则继续执行 4，如果 w 不存在，则回到第 1 步，将从 v 的下一个结点继续。

4) 若 w 未被访问，对 w 进行深度优先遍历递归（即把 w 当做另一个 v，然后进行步骤 123）。

5) 查找结点 v 的 w 邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤 3。

代码实现：

在Node中添加方法：

/**
 * 返回第一个邻接节点的下标
 *
 * @param index
 * @return 如果存在就返回对应的下标，如果不存在就返回-1
 */
public int getFirstNeighbor(int index) {
    for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) {
        if (edges[index][i] > 0) {
            return i;
        }
    }
    return -1;
}
/**
 * 根据上一个邻接节点的下标来获取下一个邻接节点的下标
 *
 * @param v1 上一个邻接节点的行下标
 * @param v2 上一个邻接节点的列下标
 * @return
 */
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
    for (int i = v2 + 1; i < vertexList.size(); i++) {
        if (edges[v1][i] > 0) {
            // 说明存在
            return i;
        }
    }
    return -1;
}
/**
 * 深度优先遍历算法
 *
 * @param isVisited 判断节点是否存在
 * @param i         表示节点下标
 */
private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
    //首先我们访问该结点,输出
    System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
    //将结点设置为已经访问
    isVisited[i] = true;
    //查找结点 i 的第一个邻接结点 w
    int w = getFirstNeighbor(i);
    //说明有
    while (w != -1) {
        if (!isVisited[w]) {
            dfs(isVisited, w);
        }
        //如果 w 结点已经被访问过
        w = getNextNeighbor(i, w);
    }
}
//对 dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs
public void dfs() {
    isVisited = new boolean[vertexList.size()];
    //遍历所有的结点，进行 dfs[回溯]
    for (int i = 0; i < vertexCount(); i++) {
        if (!isVisited[i]) {
            dfs(isVisited, i);
        }
    }
}

测试：

 1 public static void main(String[] args) {
 2     // 创建5个顶点的数据
 3     int n = 5;
 4     // 顶点的值
 5     String[] vertexValues = {"A", "B", "C", "D", "E"};
 6     // 创建图
 7     ChartDemo chart = new ChartDemo(n);
 8     // 循环的给图添加顶点信息
 9     for (String vertexValue : vertexValues) {
10         chart.addVertex(vertexValue);
11     }
12     // 顶点下标：A(0) B(1) C(2) D(3) E(4)
13     // 添加边：A-B A-C B-E B-D B-C
14     chart.addEdge(0, 1, 1);
15     chart.addEdge(0, 2, 1);
16     chart.addEdge(1, 4, 1);
17     chart.addEdge(1, 3, 1);
18     chart.addEdge(1, 2, 1);
19     // 打印这个图
20     chart.getChart();
21     // 测试深度优先遍历
22     System.out.println("深度优先遍历：");
23     chart.dfs();
24 }

图的广度优先算法(BFS)：分层遍历

广度优先遍历基本思想

1) 图的广度优先搜索(Broad First Search) 。

2) 类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点

广度优先遍历算法步骤

1) 访问初始结点 v 并标记结点 v 为已访问。
2) 结点 v 入队列

3) 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
4) 出队列，取得队头结点 u。
5) 查找结点 u 的第一个邻接结点 w。
6) 若结点 u 的邻接结点 w 不存在，则转到步骤 3；否则循环执行以下三个步骤：
6.1 若结点 w 尚未被访问，则访问结点 w 并标记为已访问。
- 6.2 结点 w 入队列
- 6.3 查找结点 u 的继 w 邻接结点后的下一个邻接结点 w，转到步骤 6。

总结：就是先把A能够访问到的节点访问到。A实在访问不到的就从B中找，以此类推……

代码实现：

 /**
  * 对一个结点进行广度优先遍历的方法
  *
  * @param isVisited 判断这个节点是否被访问过
  * @param i
  */
 private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
     int u; // 表示队列的头结点对应下标
     int w; // 邻接结点 w
     //队列，记录结点访问的顺序
     LinkedList queue = new LinkedList();
     //访问结点，输出结点信息
     System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
     //标记为已访问
     isVisited[i] = true;
     //将结点加入队列
     queue.addLast(i);
     while (!queue.isEmpty()) {
         //取出队列的头结点下标
         u = (Integer) queue.removeFirst();
         //得到第一个邻接结点的下标 w
         w = getFirstNeighbor(u);
         while (w != -1) {//找到
             //是否访问过
             if (!isVisited[w]) {
                 System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
                 //标记已经访问
                 isVisited[w] = true;
                 //入队
                 queue.addLast(w);
             }
             //以 u 为前驱点，找 w 后面的下一个邻结点
             w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先
         }
     }
 }
 /**
  * 遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
  */
 public void bfs() {
     // 初始化深广度的节点是否被访问
     isVisited = new boolean[5];
     isVisited = new boolean[vertexList.size()];
     for (int i = 0; i < vertexCount(); i++) {
         if (!isVisited[i]) {
             bfs(isVisited, i);
         }
     }
 }

输出结果：

深度优先遍历和广度优先遍历的区别：

将上图的数据代入到代码中观察：

Code：

  1 package 图;
  2 
  3 import java.util.ArrayList;
  4 import java.util.LinkedList;
  5 
  6 /**
  7  * @author zhangzhixi
  8  * @date 2021/3/13 23:24
  9  */
 10 
 11 public class Chart {
 12     public static void main(String[] args) {
 13         // 创建5个顶点的数据
 14         int n = 8;
 15         // 顶点的值
 16         //String[] vertexValues = {"A", "B", "C", "D", "E"};
 17         String[] vertexValues = {"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};
 18 
 19         // 创建图
 20         ChartDemo chart = new ChartDemo(n);
 21 
 22         // 循环的给图添加顶点信息
 23         for (String vertexValue : vertexValues) {
 24             chart.addVertex(vertexValue);
 25         }
 26 
 27         // 顶点下标：A(0) B(1) C(2) D(3) E(4)
 28         // 添加边：A-B A-C B-E B-D B-C
 29 //        chart.addEdge(0, 1, 1);
 30 //        chart.addEdge(0, 2, 1);
 31 //        chart.addEdge(1, 4, 1);
 32 //        chart.addEdge(1, 3, 1);
 33 //        chart.addEdge(1, 2, 1);
 34         //更新边的关系
 35         chart.addEdge(0, 1, 1);
 36         chart.addEdge(0, 2, 1);
 37         chart.addEdge(1, 3, 1);
 38         chart.addEdge(1, 4, 1);
 39         chart.addEdge(3, 7, 1);
 40         chart.addEdge(4, 7, 1);
 41         chart.addEdge(2, 5, 1);
 42         chart.addEdge(2, 6, 1);
 43         chart.addEdge(5, 6, 1);
 44 
 45         // 打印这个图
 46         chart.getChart();
 47 
 48         // 测试深度优先遍历
 49         System.out.println("深度优先遍历：");
 50         chart.dfs();
 51         System.out.println();
 52         System.out.println("广度优先遍历：");
 53         chart.bfs();
 54     }
 55 }
 56 
 57 /**
 58  * 图
 59  */
 60 class ChartDemo {
 61     /**
 62      * 图的顶点
 63      */
 64     private ArrayList<String> vertexList;
 65     /**
 66      * 表示邻阶矩阵
 67      */
 68     private int[][] edges;
 69     /**
 70      * 表示边的条数
 71      */
 72     private int numEdges;
 73 
 74     /**
 75      * 用来记录某个节点是否被访问
 76      */
 77     private boolean[] isVisited;
 78 
 79     /**
 80      * @param e 表示图的顶点数量
 81      */
 82     public ChartDemo(int e) {
 83         // 初始化矩阵跟图的顶点
 84         edges = new int[e][e];
 85         vertexList = new ArrayList<>(e);
 86         numEdges = 0;
 87     }
 88 
 89     /**
 90      * 添加节点的方法
 91      *
 92      * @param vertex 图的顶点
 93      */
 94     public void addVertex(String vertex) {
 95         vertexList.add(vertex);
 96     }
 97 
 98     /**
 99      * 添加图的边的方法
100      *
101      * @param vertex1 ：表示顶点1
102      * @param vertex2 ：表示顶点2
103      * @param Weight  ：表示v1.v2的权值(能连接表示1，不能直接连接表示0)
104      */
105     public void addEdge(int vertex1, int vertex2, int Weight) {
106         edges[vertex1][vertex2] = Weight;
107         edges[vertex2][vertex1] = Weight;
108         // 每加一个边就让边的条目数+1
109         numEdges++;
110     }
111 
112     /**
113      * 返回图的顶点数量
114      */
115     public int vertexCount() {
116         return vertexList.size();
117     }
118 
119     /**
120      * 返回图的边的数量
121      */
122     public int edgeCount() {
123         return numEdges;
124     }
125 
126     /**
127      * 返回节点下标对应的数据
128      *
129      * @param i 节点的下标
130      */
131     public String getValueByIndex(int i) {
132         return vertexList.get(i);
133     }
134 
135     /**
136      * 返回v1跟v2下标对应的权值
137      *
138      * @param v1
139      * @param v2
140      */
141     public int getWeight(int v1, int v2) {
142         return edges[v1][v2];
143     }
144 
145     /**
146      * 打印邻阶矩阵(遍历二维数组)
147      */
148     public void getChart() {
149         for (int[] edge : edges) {
150             for (int i : edge) {
151                 System.out.print(i + "\t");
152             }
153             System.out.println();
154         }
155     }
156 
157     /**
158      * 返回第一个邻接节点的下标
159      *
160      * @param index
161      * @return 如果存在就返回对应的下标，如果不存在就返回-1
162      */
163     public int getFirstNeighbor(int index) {
164         for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) {
165             if (edges[index][i] > 0) {
166                 return i;
167             }
168         }
169         return -1;
170     }
171 
172     /**
173      * 根据上一个邻接节点的下标来获取下一个邻接节点的下标
174      *
175      * @param v1 上一个邻接节点的行下标
176      * @param v2 上一个邻接节点的列下标
177      * @return
178      */
179     public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
180         for (int i = v2 + 1; i < vertexList.size(); i++) {
181             if (edges[v1][i] > 0) {
182                 // 说明存在
183                 return i;
184             }
185         }
186         return -1;
187     }
188 
189     /**
190      * 深度优先遍历算法
191      *
192      * @param isVisited 判断节点是否存在
193      * @param i         表示节点下标
194      */
195     private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
196         //首先我们访问该结点,输出
197         System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
198         //将结点设置为已经访问
199         isVisited[i] = true;
200         //查找结点 i 的第一个邻接结点 w
201         int w = getFirstNeighbor(i);
202         //说明有
203         while (w != -1) {
204             if (!isVisited[w]) {
205                 dfs(isVisited, w);
206             }
207             //如果 w 结点已经被访问过
208             w = getNextNeighbor(i, w);
209         }
210     }
211 
212     /**
213      * 对 dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs
214      */
215     public void dfs() {
216         // 初始化深度的节点是否被访问
217         isVisited = new boolean[vertexCount()];
218         isVisited = new boolean[vertexList.size()];
219         //遍历所有的结点，进行 dfs[回溯]
220         for (int i = 0; i < vertexCount(); i++) {
221             if (!isVisited[i]) {
222                 dfs(isVisited, i);
223             }
224         }
225     }
226 
227     /**
228      * 对一个结点进行广度优先遍历的方法
229      *
230      * @param isVisited 判断这个节点是否被访问过
231      * @param i
232      */
233     private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
234         int u; // 表示队列的头结点对应下标
235         int w; // 邻接结点 w
236         //队列，记录结点访问的顺序
237         LinkedList queue = new LinkedList();
238         //访问结点，输出结点信息
239         System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
240         //标记为已访问
241         isVisited[i] = true;
242         //将结点加入队列
243         queue.addLast(i);
244         while (!queue.isEmpty()) {
245             //取出队列的头结点下标
246             u = (Integer) queue.removeFirst();
247             //得到第一个邻接结点的下标 w
248             w = getFirstNeighbor(u);
249             while (w != -1) {//找到
250                 //是否访问过
251                 if (!isVisited[w]) {
252                     System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
253                     //标记已经访问
254                     isVisited[w] = true;
255                     //入队
256                     queue.addLast(w);
257                 }
258                 //以 u 为前驱点，找 w 后面的下一个邻结点
259                 w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先
260             }
261         }
262     }
263 
264     /**
265      * 遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
266      */
267     public void bfs() {
268         // 初始化深广度的节点是否被访问
269         isVisited = new boolean[vertexCount()];
270         isVisited = new boolean[vertexList.size()];
271         for (int i = 0; i < vertexCount(); i++) {
272             if (!isVisited[i]) {
273                 bfs(isVisited, i);
274             }
275         }
276     }
277 }

posted @ 2021-03-13 18:56 Java小白的搬砖路阅读(109) 评论(0) 编辑收藏举报

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数据结构-图

图的基本介绍：

为什么要有图：

图的举例说明

图的常用概念

图的表示方式

邻接矩阵

邻接表

图的快速入门附代码实现

需求以及思路分析：

代码实现：

图的深度优先算法(DFS)：回溯遍历

图遍历介绍

深度优先遍历基本思想

深度优先遍历算法步骤

代码实现：

图的广度优先算法(BFS)：分层遍历

广度优先遍历基本思想

广度优先遍历算法步骤

代码实现：

深度优先遍历和广度优先遍历的区别：