完备性

转自：https://blog.csdn.net/xiaoguiyuan/article/details/6028010?utm_source=copy 

完备性

　　在数学及其相关领域中，一个对象具有完备性，即它不需要添加任何其他元素，这个对象也可称为完备的或完全的。

简介
　　完备性也称完全性，可以从多个不同的角度来精确描述这个定义，同时可以引入完备化这个概念。但是在不同的领域中，“完备”也有不同的含义，特别是在某些领域中，“完备化”的过程并不称为“完备化”，另有其他的表述，可参考代数闭域(algebraically closed field)、紧化(compactification)或哥德尔不完备定理。

度量空间的完备性
　　一个度量空间或一致空间（uniform space）被称为“完备的”，如果其中的任何柯西列都收敛(converges)，可参看完备空间。在泛函分析(functional analysis)中,，一个拓扑向量空间(topological vector space)V的子集S被称为是完全的，如果S的扩张(span)在V中是稠密的(dense)。如果V是可分拓扑空间(separable topology space)，那么也可以导出V中的任何向量都可以被写成S中元素的（有限或无限的）线性组合。更特殊地，在希尔伯特空间(Hilbert space))中（或者略一般地，在线性内积空间(inner product space)中），一组标准正交基(orthonormal basis)就是一个完全而且正交的集合。

测度空间的完全性
　　一个测度空间(measure space)是完全的，如果它的任何零测集(null set)的任何子集都是可测的。可参考完全测度空间(complete measure)。

统计学中的完全性
　　在统计学中，一个统计量(statistic)被称为完全的，如果它不允许存在0的无偏估计量(estimator)。可参考完备统计量(complete statistic)。

图论中的完全性
　　在图论(graph theory)中，一个图被称为完全的(complete graph)，如果这个图是无向图，并且任何两个顶点之间都恰有一条边连接。

范畴论中的完备性
　　在范畴论(category theory)，一个范畴C被称为完备的，如果任何一个从小范畴到C的函子(functor)都有极限(limit)。而它被称为上完备的，如果任何函子都有一个上极限(colimit)。可参考范畴论中的极限定义。

序理论的完备性
　　在序理论(order theory)和相关的领域中，如格(lattice)和畴(domain theory)中，全序性(completeness)一般是指对于偏序集(partially ordered set)存在某个特定的上确界(suprema)或下确界(infima)。值得特别注意的是，这个概念在特定的情况下也应用于完全布尔代数(complete Boolean algebra)，完全格(complete lattice)和完全偏序(complete partial order)。并且一个有序域(ordered field)被称为完全的，如果它的任何在这个域中有上界的非空子集，都有一个在这个域中的最小上界(least upper bound)；注意这个定义与序理论中的完全有界性(bounded complete)有细小的差别。在同构的意义下，有且仅有一个完全有序域，即实数。

数理逻辑的完备性
　　在数理逻辑(en:mathematical logic中)，一个理论(theory)被称为完备的，如果对于其语言(language)中的任何一个句子(sentence)S，这个理论包括且仅 包括S或S之逆。一个系统是兼容的，如果不存在同时P和非P的证明。哥德尔不完备定理证明了，包含皮亚诺公理(Peano axioms)的所有公理系统都是不可能既完备又相容的。下面还有一些逻辑中关于完备性的定义。在证明论(proof theory)和相关的数理逻辑的领域中，一个形式的演算(calculus)相对于一个特定的逻辑（即相对于它的语义(semantics)）是完备 的，如果任何由一组前提Q根据语义导出的陈述P，都可以从这组前提出发利用这个演算语法地(syntactically)导出。形式地说，导出 。一阶逻辑(First-order logic)在这个意义下是完备的。特别地，所有逻辑的重言式(tautologies)都可以被证明。即使在经典逻辑中，这与前述的完备性是不同的（即 一个陈述和否定陈述对于这个逻辑而言不可能是重言式）。相反的概念被称为可靠性（soundness）。

计算复杂度中的完备性
　　在计算复杂度理论(computational complexity theory)中，一个问题P对于一个复杂度类C，在某个给定类型的归约下是完全的(complete)，如果P在C中，并且C中的任何问题利用该归约都可以归化到P。例如，NP完全问题(NP-complete)在NP(NP)类和多项式时间(polynomial-time)和多对一归约的意义下是完全的。

正交的完备性

　　在线性空间中就是指构成这个空间的基是相互正交的，即这个空间中所有的向量都可以由这组基线性表出，而且这些基又相互正交。正交也就是在三维空间中垂直的意思。
拓展开，在许多更具体的问题中都是这样。例如，函数集合的标准正交基是：sin(NX),cos(NX),N取整数。这样就可以说这组函数是完备正交的。 因为任何一个函数都可以由他们通过线性叠加而构成，傅立叶级数以及傅立叶变换就是以此研究的。并且他们相互垂直，也就是他们中任何两个不同的函数在一个周 期中对这两个函数的乘积的积分都为零，相同的函数结果为1。
　　在几何空间中，三维空间，就是长宽高，三个方向相互垂直，并且可以表示其中的任何一个点（也就是向量）。

不完备性定理
　　1931年数学家库尔特·哥德尔证明了他的著名的有关数学本性的不完备性定理。该定理陈述，在任何公理化形式系统。譬如现代数学中，总有在定义该系统 的公理的基础上既不能证明，也不能证伪的问题。换言之，哥得尔证明了，存在有任何一族规则或者步骤（都）不能解决的问题。

　　哥得尔定理对数学立下了基本的极限。它极大地震动了科学界，因为它抛弃了被广泛接受的信念，即数学是一个基于单一逻辑基础协调而完备的系统。在自然中还存在决定性的但却变成混沌的演化，人们在实际上无法跟踪这种演化。哥得尔定理、海森伯的不确定性原理以及混沌性，形成科学知识的局限性的核心，这类局限性只是在20世纪才被意识到。

哥德尔完备性定理

　　哥德尔完备性定理是数理逻辑中重要的定理，在 1929年由库尔特·哥德尔首先证明。它的最熟知的形式声称在一阶谓词演算中所有逻辑上有效的公式都是可以证明的。

　　上述词语“可证明的”意味着有着这个公式的形式演绎。这种形式演绎是步骤的有限列表，其中每个步骤要么涉及公理要么通过基本推理规则从前面的步骤获得。给定这样一种演绎，它的每个步骤的正确性可以在算法上检验(比如通过计算机或手工)。

　　一个公式被称为“逻辑上有效”的，如果它在这个公式的语言的所有模型中都为真。为了形式的陈述哥德尔完备性定理，你必须定义这个上下文中词语“模型” 的意义。这是模型论的基本定义。

　　在另一个方向上，哥德尔完备性定理声称一阶谓词演算的推理规则是“完备的”，在不需要额外的推理规则来证明所有逻辑上有效的公式的意义上。完备性的逆命题是“可靠性”。一阶谓词演算的实情是可靠的，就是说，只有逻辑上有效的陈述可以在一阶逻辑中证明，这是可靠性定理断言的。 　　

　　处理在不同的模型中什么为真的数理逻辑分支叫做模型论。研究在特定形式系统中什么为可以形式证明的分支叫做证明论。完备性定理建立了在这两个分支之间的基本联系。给出了在语义和语法之间的连接。但完备性定理不应当被误解为消除了在这两个概念之间的区别；事实上另一个著名的结果哥德尔不完备定理，证实了对“在数学中什么是形式证明可以完成的”有着固有的限制。不完备定理的名声与另一种意义的“完备”有关，参见模型论。

　　更一般版本的哥德尔完备性定理成立。它生成对于任何一阶理论T和在这个理论中的任何句子S，有一个S 的自T的形式演绎，当且仅当S被T的所有模型满足。这个更一般的定理被隐含使用，例如，在一个句子被证实可以用群论的公理证明的时候，通过考虑一个任意的群并证实这个句子被这个群所满足。完备性定理是一阶逻辑的中心性质，不在所有逻辑中成立。比如二阶逻辑就没有完备性定理。

　　完备性定理等价于超滤子引理，它是弱形式的选择公理，在不带有选择公理的 Zermelo–Fraenkel 集合论中有着等价的可证明性。
证明
　　对定理的最初证明的解释可参考哥德尔完备性定理的最初证明。

　　在现代逻辑课本中，哥德尔完备性定理通常使用 Leon Henkin 的证明而不是哥德尔最初的证明。

谓词逻辑完备性定理和演绎定理

　　（1）完备性指的是，任一普遍有效的谓词公式，在该公理系统里是否都可得到证明。一般说来各种完备性的证明常是较为困难的，谓词逻辑的完备性较命题逻辑完备性证明复杂得多，1929年首先由Godel给出了谓词逻辑完备性的证明，随后又有一些不同的证明方法。
　　完备性定理：谓词逻辑任一普遍有效的公式都是可以证明的。
　　这个定理相当于谓词逻辑中，任一公式A或是可以证明的，或是A是可满足的。

　　（2）演绎定理
　　公理系统都是从作为公理的普遍有效的公式出发，使用推理规则导出新的定理（仍是普遍有效的公式）的。问题是，如果A不是普遍有效的公式，对A仍使用揄规则得B，那么│-A→B 还成立吗？这就是演绎定理回答的问题。
　　和命题逻辑相比，在谓词逻辑里除代入规则处，前件存在和后件概括规则也会导致 的不成立，如果不是普遍有效的。
　　演绎定理 在谓词逻辑系统中，如果从前提A经使用推理规则得B，而在推理过程中不使用代入规则、前件存在和后件概括规则时，只要A→B是合式公式必有│-A→B成立。

一阶逻辑是完备的，Godel又证明了算术系统的不完备性，总结一下

　　所谓逻辑的完备性是指，逻辑上 （语义）可以推出的命题，在该系统下是形式可推演的，即语义上正确的命题，在语法上是可以利用语法规则可以推导的，如果一个逻辑系统是完备的，则该逻辑系 统已经可以强到可以推出任何正确的命题。设想一下，如果如果有一个完备的系统来刻画我们周围的世界，如果起了什么争论，不要吵，来推演一下看谁是正确的 ^_^，多么美好的事情（如果是那样，还有什么意思？）但是，在伟大的Godel没有给出逻辑的不完备性证明以前，很多的数学家一直在努力。Godel的 证明太创造性了，不过不知道他的证明是不是有从罗素悖论那里来的灵感，还有不可计算问题的证明，本质上都是找到了自相矛盾，本质都可以归结到悖论上面。

完备性的证明要涉及语义与语法两个方面，如何找到一种方法来联系两者？

　　命题逻辑的完备性的证明 里面，引入了协调的概念。所谓协调是指一个公式集合不会形式推出自相矛盾的命题。通过证明每个协调的公式集合，存在一个赋值使得公式集合里面每个公式为 真，而逻辑上推出是用赋值定义的，到此可以利用一个简单的反证证明一阶逻辑的完备性。协调性的引入联系了语法与语义，使得证明简洁。

　　命题逻辑的完备性证明是 简单的，因为命题逻辑只涉及到赋值，而一阶谓词逻辑不同，谓词逻辑里面的常元，关系，函数，自由变元必须要有一个解释，然后对各约束变元进行赋值，这就比 较麻烦了。如果对于一个公式集合，我们可以构造一个模型，使得在这个模型下面该系统是完备的，则该系统是完备的，因为我们总可以找到一种解释使得它完备。 类似于文法的二义性，只有当无论怎么样都找不到非二义性文法时才说它时二义性的。所以我们的任务就是来找到这样一种解释，来构造我们想要的模型。见证集合 的引入是关键，所谓见证集合是指一个语言上的字符集，该字符集里的字符"见证"了该语言上的一个极大协调理论（即极大协调公式集合）里的含有一个自由变元 的公式，即含有一个自由变元的公式，可以将该自由变元解释到见证集合上面使得该公式成立（？）通过定义见证集合上的一个等价关系：对见证集合中的两个元素 有关系iff这两个元素语法上是等价的。通过这个等价关系将见证集合划分为等价类，这个等价类的集合就是我们将常元以及自由变量解释到的集合，对于有等价 关系的常元我们把它们解释到同一个等价类中;若r为L上的n元关系，解释r为等价类之间的关系，等价类之间有关系r当且仅当从每个等价类中取一个元素后有 关系，此时根据公式集合的极大性，r（c1,c2,....,cn）在这个公式集合中！对函数符号f，f作用的结果为对等价类中元素的结果。
　　我们是通过见证集合将语法与语义联系起来了。再回忆一下见证集合的作用，如果M可以逻辑推出公式A，则A在解释I下成立，而对应与A的每种形式，由于见证 集合的存在，使得我们总可以找到公式集合中的一个公式，使得这个公式语法与A等价，即A在公式集合中，至此也就完成了一阶谓词逻辑完备性的证明。
由此可见，见证集合的引入是关键。