题解 [NOIP2022] 建造军营
树形 \(dp\) 好题。
观察题目发现， 如果B国袭击后，导致A国两个军营不联通，那么B国袭击的一定是一条割边，反之，如果袭击的不是割边，那么不会导致任何影响。
所以先进行边双缩点，变成一棵树，记每个联通块（缩完后）内的点数为 \(wa\)，边数为 \(wb\)，不妨先考虑对于树的情况如何处理。
将问题进行转化，即在树上选一些点和边，使得所有点可以通过选的边相互到达，询问选点和边的方案数。
首先设 \(f[i][0/1]\) 表示以 \(i\) 为根的子树内没有/有 军营的方案数，那么答案显然是 \(f[1][1]\)，但我们发现一种情况很难转移：对于节点 \(i\)，有些子树内有军营，有些没有，很难对边进行计数。
出现难以转移的情况，有两种解决办法：
- 增加 \(dp\) 状态，更加具体地描述每个状态；
- 不增加状态，但是对状态作出更严格的限制。
经过尝试，即使增加 \(dp\) 状态，仍然难以解决上述问题，所以我们采用第二种方法。
设 \(f[i][0/1]\)，其中 \(f[i][0]\) 表示以 \(i\) 为根的子树内没有选点，\(f[i][1]\) 表示以 \(i\) 为根的子树内选了点，且选出的边满足选出的点与 \(i\) 点连通（注意：\(i\) 不一定要选）。
先来考虑答案是什么，显然不是 \(f[1][1]\)，需要对每个点单独考虑，具体地，设整棵树除去 \(i\) 为根的子树的边数为 \(cnt[i]\)，那么答案就是：
解释一下：依次考虑每个点，记当前点为 \(i\)，并且钦定只有 \(i\) 子树内选了点，于是 \(i\) 子树外面的边怎么选就无所谓（反正没有点，乱选边也不会有影响），所以每个点选或不选就是 \(2^{cnt[i]}\)，但直接这样求会算重，原因如下图所示：
原因是在考虑 \(i\) 时，在选择 \(i\) 外面的边时选择了 \(i\) 头上的边，这种情况恰好包含在 \(f[fa][1]\) 中，因为正好通过这条边与 \(fa\) 相连。
所以考虑 \(i\) 时强制不选 \(i\) 与 \(fa\) 的边，这样就不会导致算重。也就是上述式子中的 \(2^{cnt[i]}-1\)。
那么这种算法能将所有情况统一下来不漏吗？换一个角度考虑，发现任意一种选点方案，会在选的点的 \(\rm LCA\) 及其祖先处进行统计，由于我们规定不选与父亲相连的边，所以在所以祖先处考虑时边集不会重复，且覆盖所有，所以没有问题。
下面来考虑如何 \(dp\)。
解释：\(f[x][0] \times 2\) 代表 \(nd\) 与 \(x\) 相连的边有选/不选两种可能，\(f[nd][1]\) 后面减的东西表示除去子树全部为 \(0\) 的情况，前面的 \(2\times\) 系数表示 \(nd\) 自己选/不选两种可能，如果 \(nd\) 选了，那么子树选不选都无所谓，但如果 \(nd\) 没选，那么子树必须要选。
这样我们就会了单纯是树的情况。
下面来考虑边双缩点成的树的情况，多了 \(wa\) 和 \(wb\) 两个权值。
其实几乎只有边界条件的不同，若选择点 \(i\)，那么有 \((2^{wa[i]}-1)\times 2^{wb[i]}\)，若不选，就是\(2^{wb[i]}\)，然后剩下按照转移方程计算即可。
时间复杂度：\(\rm O(n)\)。
代码解释：f 同上，dp 表示子树内的边，wa 表示联通块内点数，wb 表示联通块内边数，p 表示 \(2\) 的次幂。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define PII pair<int,int>
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
LL read() {
char c=getchar(); LL sum=0,flag=1;
while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') flag=-1; c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9') {sum=sum*10+c-'0'; c=getchar();}
return sum*flag;
}
const int N=5e5+10,M=1e6+10;
const LL MOD=1e9+7;
int n,m;
int low[N],dfn[N],siz,tmst,id[N];
int wa[N],wb[N];
vector<PII> g[N];
struct Edge {
int l,r;
}a[M];
stack<int> st;
LL f[N][2],p[M],dp[N];
void dfs(int nd,int lst) {
dfn[nd]=low[nd]=++tmst; st.push(nd);
for(auto t:g[nd]) {
int x=t.first,id=t.second;
if(lst==id) continue;
if(!dfn[x]) {
dfs(x,id);
low[nd]=min(low[nd],low[x]);
}
else low[nd]=min(low[nd],dfn[x]);
}
if(low[nd]==dfn[nd]) {
int y=0; ++siz;
do {
y=st.top(); st.pop();
id[y]=siz; wa[siz]++;
} while(y!=nd);
}
}
void dfs2(int nd,int fa) {
f[nd][0]=p[wb[nd]];
f[nd][1]=(p[wa[nd]]-1)*p[wb[nd]]%MOD;
dp[nd]=wb[nd];
if(g[nd].size()==1&&g[nd][0].first==fa) return ;
LL s1=p[wb[nd]];//自己不选
LL s2=(p[wa[nd]]-1)*p[wb[nd]]%MOD;//自己选
LL s0=p[wb[nd]];//计算子树全部不选的数量
for(auto t:g[nd]) {
int x=t.first; if(x==fa) continue;
dfs2(x,nd);
dp[nd]+=dp[x]+1;
f[nd][0]*=f[x][0]*2; f[nd][0]%=MOD;
s1*=f[x][1]+f[x][0]*2; s1%=MOD;
s2*=f[x][1]+f[x][0]*2; s2%=MOD;
s0*=f[x][0]*2%MOD; s0%=MOD;
}
f[nd][1]=s2+s1-s0; f[nd][1]=(f[nd][1]%MOD+MOD)%MOD;
}
int main(){
n=read(); m=read();
p[0]=1; for(int i=1;i<=m;i++) p[i]=p[i-1]*2ll%MOD;
for(int i=1;i<=m;i++) {
int x=read(),y=read();
a[i]={x,y};
g[x].push_back({y,i});
g[y].push_back({x,i});
}
dfs(1,0);
for(int i=1;i<=n;i++) {
g[i].clear();
}
for(int i=1;i<=m;i++) {
int x=id[a[i].l],y=id[a[i].r];
if(x==y) wb[x]++;
else {
g[x].push_back({y,0});
g[y].push_back({x,0});
}
}
dfs2(1,0);
LL ans=0;
for(int i=1;i<=siz;i++) {
ans=(ans+f[i][1]*p[max(dp[1]-dp[i]-1,0ll)]%MOD)%MOD;
}
cout<<ans;
return 0;
}
/*
*/
