题解 Bear and Bowling 4
先将题目进行抽象(此处省去一定的数学分析),有以下式子:
设 ,及
那么一段区间 的贡献计算即:
不妨每次固定右端点 ,即将右端点看做 ,尝试求出最优的左端点,这里为了方便,可以将 看做 ,那么满足 。
那么式子改写为:
不难发现式子中有 这种 乘积项,所以考虑斜率优化。
首先将 拆开,并做一定恒等变形,可得:
这里依次对应 ,即 ,,,。
我们期望让 最大,即期望让截距最大。所以维护上凸壳(这里维护凸壳拐点,即 ),即斜率递减。
注意到 并不一定递增,所以必须在凸壳上二分找到第一个 即小于当前直线斜率的转移点。然后进行转移。
代码:
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; #define PII pair<int,int> const LL INF=1e18; const int N=2e5+10; int n; int q[N]; LL a[N],s[N],s2[N],dp[N]; double Slope(int x,int y) { return ((x*s2[x]-s[x])-(y*s2[y]-s[y]))*1.0/(x*1.0-y*1.0); } int main(){ cin>>n; for(int i=1;i<=n;i++) { cin>>a[i]; s[i]=s[i-1]+1ll*i*a[i]; s2[i]=s2[i-1]+a[i]; } int l=1,r=1; q[1]=0; for(int i=1;i<=n;i++) {//维护斜率单调递减的 int left=l,right=r; while(left<right) {//找到第一个k'<s2[i] int mid=left+right>>1; if(Slope(q[mid],q[mid+1])<s2[i]*1.0) right=mid; else left=mid+1; } LL p=q[left];//最佳转移点 // cout<<"DEBUG:"<<i<<" "<<p<<endl; dp[i]=s[i]-s[p]-p*(s2[i]-s2[p]); while(l<r&&Slope(q[r-1],q[r])<=Slope(q[r],i)) r--; q[++r]=i; } LL ans=0; for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,dp[i]); cout<<ans; return 0; }
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