题解 Bear and Bowling 4

题目链接

先将题目进行抽象(此处省去一定的数学分析),有以下式子:

S(i)=j=1ij×aj ,及 S2(i)=j=1iaj

那么一段区间 [l,r] 的贡献计算即:

S(r)S(l1)(l1)×[S2(r)S2(l1)]

不妨每次固定右端点 r,即将右端点看做 i,尝试求出最优的左端点,这里为了方便,可以将 l1 看做 j,那么满足 j[0,i)

那么式子改写为:

dpi=max{SiSjj×(S2iS2j)}

不难发现式子中有 j×S2i 这种 i,j 乘积项,所以考虑斜率优化。

首先将 max 拆开,并做一定恒等变形,可得:

(j×S2jSj)=(S2i×j)+(dpiSi)

这里依次对应 y=kx+b,即 y=j×S2jSjk=S2ix=jb=dpiSi

我们期望让 dpi 最大,即期望让截距最大。所以维护上凸壳(这里维护凸壳拐点,即 (j,j×S2jSj)),即斜率递减

注意到 S2i 并不一定递增,所以必须在凸壳上二分找到第一个 <k=S2i 即小于当前直线斜率的转移点。然后进行转移。

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define PII pair<int,int>
const LL INF=1e18;
const int N=2e5+10;
int n;
int q[N];
LL a[N],s[N],s2[N],dp[N];
double Slope(int x,int y) {
return ((x*s2[x]-s[x])-(y*s2[y]-s[y]))*1.0/(x*1.0-y*1.0);
}
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) {
cin>>a[i];
s[i]=s[i-1]+1ll*i*a[i];
s2[i]=s2[i-1]+a[i];
}
int l=1,r=1;
q[1]=0;
for(int i=1;i<=n;i++) {//维护斜率单调递减的
int left=l,right=r;
while(left<right) {//找到第一个k'<s2[i]
int mid=left+right>>1;
if(Slope(q[mid],q[mid+1])<s2[i]*1.0) right=mid;
else left=mid+1;
}
LL p=q[left];//最佳转移点
// cout<<"DEBUG:"<<i<<" "<<p<<endl;
dp[i]=s[i]-s[p]-p*(s2[i]-s2[p]);
while(l<r&&Slope(q[r-1],q[r])<=Slope(q[r],i)) r--;
q[++r]=i;
}
LL ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,dp[i]);
cout<<ans;
return 0;
}
posted @   2017BeiJiang  阅读(9)  评论(0编辑  收藏  举报
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