[SDOI2008] Sue 的小球 题解
首先将彩蛋按照横坐标从小到大排序,依次标号为 \(1\sim n\)。
显然,\(Sue\)走过一段时间后,走过的点一定属于一段连续区间。所以本题采用区间 \(dp\)。
不妨先做一个简单转化,由于每个彩蛋初始高度确定,若想让总分最高,就要使扣分最少。所以下面的 \(dp\) 从扣分最少入手。
设 \(f_{l,r,0/1}\) 表示走过 \(l\sim r\) 所有点,现在处于 \(l/r\),扣的最少分。
转移的关键就是处理时间。
其中一种显然的想法是,如果能处理当前的时间,那么由 \(A\)(当前点) 点走到 \(B\) 点,就能计算出到达 \(B\) 点的时间,并相应扣除分值,但是这样不得不在状态中加多一维时间,即 \(f_{l,r,t,0/1}\),空间爆炸,不行。
刚刚的想法将所有点独立,即到达一个点在计算贡献,不妨将所有点看做整体。具体而言,从 \(A\) 点到 \(B\) 点需要时间 \(t\),计算没经过的点在时间 \(t\) 内损失的分值。设没经过的点速度总值为 \(sv\),那么损失分支为 \(sv\times t\)。
由于这种方法中,两点之间时间可计算,经过哪些点从状态 \(l,r\) 可知,速度总值前缀和计算即可。
剩下转移看代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1100;
int n,st;
LL f[N][N][2],sv[N];
struct node {
int x,y,v;
}a[N];
int cmp(node x,node y) {
return x.x<y.x;
}
LL calc(int l,int r) {
return sv[r]-sv[l-1];
}
int main(){
cin>>n>>st;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].x;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].y;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].v;
sort(a+1,a+1+n,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++) {
sv[i]=sv[i-1]+a[i].v;
}
LL vsum=sv[n];
memset(f,0x3f,sizeof(f));
//损失的最小值
for(int i=1;i<=n;i++) {
f[i][i][0]=f[i][i][1]=1ll*abs(st-a[i].x)*vsum;
}
// for(int i=1;i<=n;i++) cout<<f[i][i][0]<<" ";
for(int len=2;len<=n;len++) {
for(int l=1;l+len-1<=n;l++) {
int r=l+len-1;
f[l][r][0]=min({f[l][r][0],f[l+1][r][0]+1ll*(a[l+1].x-a[l].x)*(vsum-calc(l+1,r)),f[l+1][r][1]+1ll*(a[r].x-a[l].x)*(vsum-calc(l+1,r))});
f[l][r][1]=min({f[l][r][1],f[l][r-1][1]+1ll*(a[r].x-a[r-1].x)*(vsum-calc(l,r-1)),f[l][r-1][0]+1ll*(a[r].x-a[l].x)*(vsum-calc(l,r-1))});
f[l][r][0]=min(f[l][r][0],f[l][r][1]+1ll*(a[r].x-a[l].x)*(vsum-calc(l,r)));
f[l][r][1]=min(f[l][r][1],f[l][r][0]+1ll*(a[r].x-a[l].x)*(vsum-calc(l,r)));
// cout<<"DEBUG:"<<"["<<l<<" "<<r<<"]:"<<f[l][r][0]<<" "<<f[l][r][1]<<endl;
}
}
LL ysum=0;
for(int i=1;i<=n;i++) ysum+=a[i].y;
LL ans=ysum-min(f[1][n][0],f[1][n][1]);
printf("%.3lf",ans/1000.0);
return 0;
}
/*
*/