[SHOI2007]书柜的尺寸 题解
设 \(f_{i,t1,t2}\) 表示前 \(i\) 本书,第一层的宽度为 \(t1\),第二层的宽度为 \(t2\),所需要的最小高度。
第三层宽度 \(t3=\sum_{i=1}^{i}t_i-t1-t2\)。
但本题还有一个重要限制:每层的高度取决于该层最高的书,如果直接按照顺序加入书本,从 \(dp\) 的状态来看,无法确定新书本能否成为最高的书。
为了解决这个问题,先将书本按照高度从大到小排序,按照从大到小的顺序加入书本,那么每层第一本加入的书就是该层最高的书。而从 \(dp\) 的状态可以看出该层有没有书(从 \(t1/t2/t3\) 是否为 \(0\) 即可看出),从而确定书本是否是第一次加入。
直接 \(dp\) 空间上难以承受,滚动数组优化即可。
本题使用刷表法更好些,可以使得 “加入” 这一操作更加直观。
总结:对于以一串数字中的最大值作为贡献的,考虑先排序,再进行 \(dp\)。
代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=2110;
int n;
int f[N][N],d[N][N];
struct node {
int h,t;
}a[N];
int cmp(node x,node y) {
return x.h>y.h;
}
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].h>>a[i].t;
sort(a+1,a+1+n,cmp);
memset(f,0x3f,sizeof(f));
f[0][0]=0;
int sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++) {
memcpy(d,f,sizeof(f));
memset(f,0x3f,sizeof(f));
for(int t1=0;t1<=sum;t1++) {
for(int t2=0;t2<=sum;t2++) {
if(!t1&&t2) break;
int t3=sum-t1-t2;
if(t3<0||(!t1&&!t2&&t3)) break;
if(t1==0) f[t1+a[i].t][t2]=min(f[t1+a[i].t][t2],d[t1][t2]+a[i].h);
if(t1&&t2==0) f[t1][t2+a[i].t]=min(f[t1][t2+a[i].t],d[t1][t2]+a[i].h);
if(t1&&t2&&t3==0) f[t1][t2]=min(f[t1][t2],d[t1][t2]+a[i].h);
if(t1) f[t1+a[i].t][t2]=min(f[t1+a[i].t][t2],d[t1][t2]);
if(t2) f[t1][t2+a[i].t]=min(f[t1][t2+a[i].t],d[t1][t2]);
if(t3) f[t1][t2]=min(f[t1][t2],d[t1][t2]);
}
}
sum+=a[i].t;
}
LL minn=1e18;
for(int t1=1;t1<=sum;t1++) {
for(int t2=1;t2<=sum;t2++) {
int t3=sum-t1-t2;
if(t3<=1) continue;
minn=min(minn,1ll*max({t1,t2,t3})*f[t1][t2]);
}
}
cout<<minn;
return 0;
}