题解【[SCOI2008] 配对】

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如果没有“配对数字不相同”的限制，将 $a,b$ 数组排序后一 一配对就能得到最小值。

回到原题，考虑一种极端情况，$\forall i\in [1,n],a_i=b_i$ 即排序后全等。

若 $n$ 为偶数，一种显然的构造方法是：

1 2 3 4 5 6
2 1 4 3 6 5

即分成两个两个一组，然后组内交换，这样跨越幅度最小，因此最终得出答案最小。

若 $n$ 为奇数，两个一组显然不行，引入三个一组，比如 1 2 3 可对应 3 1 2 和 2 3 1，一定可以得到答案。

但是不需要引入四个一组，因为必然可以拆成“两个+两个”的模式。

回到原问题，设 $f_i$ 表示前 $i$ 个元素的答案，那么转移有：

• $a_i$ 与 $b_i$ 配对，$f_{i-1} \rightarrow f_i$
• $a_i,a_{i-1}$ 与 $b_i,b_{i-1}$，$f_{i-2} \rightarrow f_i$
• $a_i,a_{i-1},a_{i-2}$ 与 $b_i,b_{i-1},b_{i-2}$，$f_{i-3} \rightarrow f_i$

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
typedef long long LL;
const int N=1e5+10;
int n,a[N],b[N];
LL f[N];
 
LL calc(int p) {
    vector<int> c;
    LL minn=1e18;
    c.push_back(b[p-2]); c.push_back(b[p-1]); c.push_back(b[p]); 
    do {
        if(c[0]!=a[p]&&c[1]!=a[p-1]&&c[2]!=a[p-2]) {
            minn=min(minn,abs(c[0]-a[p])*1ll+abs(c[1]-a[p-1])+abs(c[2]-a[p-2]));
        }
    } while(next_permutation(c.begin(),c.end()));
    return minn;
}
 
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]>>b[i];
    sort(a+1,a+1+n);
    sort(b+1,b+1+n);
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        if(i>=3)f[i]=calc(i)+f[i-3];
        if(a[i]!=b[i]) f[i]=min(f[i],f[i-1]+abs(a[i]-b[i]));
        if(i>=2&&(a[i]==b[i]||a[i-1]==b[i-1])) f[i]=min(f[i],f[i-2]+abs(a[i]-b[i-1])+abs(a[i-1]-b[i]));
    }
    cout<<f[n];
 
    return 0;
}