题解【[ABC147F] Sum Difference】

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下为口胡题解：

入手方向推导：
直接考虑题目所给式子显然困难：

$$w(S)=\sum_{i\in S}A_i-\sum_{i\notin S}A_i$$

因为两个式子虽然相关但是都在变化，不妨转化为：

$$w(S)=2\times \sum_{i\in S}A_i-\sum_{i=1}^n A_i$$

这样只用求出有多少个不同的 $\sum_{i\in S}A_i$。

由于每个 $A_i$ 加和一定可以表示为 $aX+bD$ 的形式，不妨将 $a$ 固定下来进行研究（即选取固定数量的 $A_i$，那么贡献固定数量的首项 $X$）。

当 $a$ 确定，$\sum_{i\in S}A_i$ 显然可以取到 $[aX+\frac{a(a-1)}{2}D,aX+\frac{a(2n-a-1)}{2}D]$ 之间的每一个数。

比如对于如下的 $A_i$ 取三个：

X  X+D  X+2D  X+3D  X+4D  X+5D

最小可以取到：$X+(X+D)+(X+2D)=3X+3D$，最多可以取到 $(X+3D)+(X+4D)+(X+5D)=3X+12D$，其中每一个 $b$ （$D$前的系数）不同的都能取到。

但是还有一种情况，即存在 $k_1X=k_2D$，那么在某些情况下，即便有两个 $aX+bD$ 的 $a,b$ 系数均不相同，也能表示同一个值。

这种情况可以尽可能将刚才计算出的区间中的 $X$ 尽可能替换为 $D$。

最后在相同的 $X$ 上区间并，并将不同 $X$ 的答案累加起来即可。

方向总结：尽可能研究变化较少的东西，如果有多个会变，就转化为少量会变进行研究。