算法总结
贪心算法
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解决问题：最优化问题；
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优点：是解决最优化问题的最优策略，时间复杂度低；
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缺点：要满足局部最优解可以推出全局最优解，这意味着在考场上想出一个贪心策略需要通过举例以及证明。
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常见思考方式：
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如果是决定谁先做谁后做的，类比排队问题，邻项交换；如果先后有限制关系，比如谁先做谁后做，那么通常套路还是找出最优的，尽可能合并，或者直接将限制的直接干掉。
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对于树上问题，通常考虑从下到上进行合并。
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区间问题，首先将区间左/右端点进行排序，然后考虑怎么处理。
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更为一般的问题，如果几种策略的贡献相等，就考虑对于后面的影响。
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对于每个必选的，直接考虑每个点如何加入。
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实在不会，考虑反悔贪心。
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搜索
深搜优化
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剪枝
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可行性剪枝；
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最优性剪枝；
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优化搜索顺序；
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减少冗余状态；
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迭代加深搜索
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适用范围：不知道明确的搜索边界，或者做搜索树的简单优化；
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可以达到广搜第一次搜到就是最优解的效果；
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\(IDA^*\) 算法
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注意：估价函数 \(f()\) 一定要 \(\le\) 真实值，约接近效率越高。
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适用范围：比较容易得出估价函数的题目。
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广度优先搜索
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\(bfs\)
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适用范围：边权相等，最优化问题，第一次搜到就是最优；
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优点：在时间常数上，广搜最优，所以对于信息容易放进队列的题目，宜用广搜；
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缺点：由于必须将信息存进队列，因此若信息过大，则无法放进队列，这时只能深搜。
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二分
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适用范围：具有单调性的最优性问题，求最大值最小/最小值最大，排名，变化后的数字。
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注意：
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合理选取二分写法，否则造成死循环；
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如果 \(l,r\) 特别大，考虑加在一起会不会爆 \(int\)。
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优点：可以将最优性问题转化为可行性问题，然后利用条件进行一系列简化。
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思考方向：
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利用二分出来的值进行分段 ；
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利用 \(mid\) 将已知条件进行重新赋值，比如赋值 \(0,1,-1\) 这种较具代表性的数。
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线性表
栈
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概念：先进后出的数据结构；
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适用范围：
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表达式求值。
- 两个栈，一个数字栈，一个符号栈，遇到数字就往数字栈里面塞，遇到符号，如果这个符号比栈顶符号的优先级大，直接将数字栈弹出了两个算出结果再塞回去，这个符号就不放回去了。否则将符号塞进去，若是遇到左括号，直接塞，遇到右括号，将数字栈和符号栈轮流弹出，直到遇到左括号为止。在将结果塞回去。
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括号匹配
- 左括号就塞进栈，右括号就将顶上的括号弹出，然后标记那两对是匹配的，一般还会结合 \(dp\) 进行出题，这时需要利用匹配结果进行转移。
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并查集
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适用范围：
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维护图的连通性；
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维护某种关系；
- 如果是关系较多，考虑扩展域并查集。
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实现快速找到第一个没有填数字的位置。
- 对于某类区间操作的题目，考虑时间倒流加并查集操作。
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前缀和与差分
倍增
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适用范围：
- 对于一步一步跳并统计贡献的暴力，尝试用倍增对其优化。
图论
拓扑排序
- 适用范围：在 \(DAG\) 上 \(dp\) 或者计算；
欧拉路径
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使用范围：图论建模后，不重复且全部走完边的方案。
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概念：从一个点出发，不重复地走边，将所有边走完，最后回到一个点；
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有向图：
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欧拉路径：要么全部节点入度等于出度，要么有一个节点出度等于入度 \(+1\)（起点），一个节点的入度等于出度 \(+1\)（终点），其他节点的入读等于出度。
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欧拉回路：全部节点入度等于出度。
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注意：当前弧优化。
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无向图：
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类似有向图，此处只需考虑节点度数的奇偶性即可。
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注意：无向图只能写邻接表存图，否则要用
map对边进行标记，效率很低。
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思考方向
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这种题通常会有不能重复，且首尾有些关系的条件，这时要将关键信息放在边，其他信息放在点。
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可以利用欧拉路径将若干简单环构成的图，进行分解，得到这些环。
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最短路
最小生成树
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概念：在图中边权和最小的一棵树。
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适用范围：
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找出一颗最小生成树，只是贡献的计算有点奇怪；
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希望边权尽可能的大/小，可以在图上找一棵最小/大生成树；
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利用 \(kruskal\) 的性质出题，只需掌握合并的规律即可。
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联通性问题
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强连通分量
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适用范围：有向图。
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常见功能：
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将一个有向图转化成一个 \(DAG\)；
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能缩点的题目，通常对于环的处理都很简单，唯一困难就是在 \(DAG\) 的递推上。
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易错点
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要记得写
is_stack数组，在满足dfn[x]!=0时，先判断is_stack[x]再更新low[nd]； -
如果不是先
tarjan的，要用dfn[x]更新low[nd]。
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边双连通分量
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适用范围：无向图。
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常用功能：
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将一个无向图转化为一棵树；
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缩边的题目通常上在题目描述上会特别描述，因为变成树以后，所有边都是桥，也就是必须经过的边。
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树论
树的直径
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概念：树上一条最长链。
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求解：
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两边
dfs可以求出树的直径。 -
若要求出树的直径上的点，设置上一个节点然后往回跳即可。
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性质
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与一个点距离最远的点，一定是树的直径端点；
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若树边权为正，则所有树的直径必定有点重合，即没有不相交的两个树的直径。
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树的重心
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概念：使得以该点为根的最大子树最小的点。
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性质：
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树中所有点到重心的距离和是最小的。
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重心的最大子树大小不超过整棵树大小一半。
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最近公共祖先
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求法：倍增，树剖。
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基本上树上问题统计贡献或是判定问题都可以在 \(LCA\) 处解决。
树链剖分
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概念：根据轻重儿子将树剖分成一条条轻重链。
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维护各种树上信息。
字符串
border
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概念：最长相等前后缀。
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性质：
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字符串 \(s\) 的 \(border\) 的 \(border\) 还是自己的 \(border\)。
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在原来字符串后添加一个字符，字符串的 \(border\) 长度至多加 \(1\).
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周期：除去 \(border\) 剩下的就是周期。
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常考题目
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利用 \(border\) 性质进行出题，一般涉及周期，相同字母覆盖，以及一些失配树的相关问题。
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利用 \(border\) 的性质实现 \(dp\) 转移。
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kmp
- 性质：利用 \(border\) 计算出失配数组，便可以在 \(\rm O(n)\) 时间内完成匹配。
哈希
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使用范围：要对子串进行一定程度的匹配，如果单纯是对整个字符串进行匹配，直接
map即可。 -
注意：在考场上为了保险，最好写双哈希
字典树
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适用范围：
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字符串字典树：进行前缀信息匹配，以及相关计算；
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01字典树：进行 \(xor\) 相关计算，具有求出排名为第 \(k\) 大的异或值。
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常见技巧：
- 在字典树上标记通常有两种，一种是直接在最后标记，这样计算完全匹配；一种是在过程中的节点标记，这样可以计算匹配前缀。
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注意：字典树的空间小号算是比较大的，清空时记得清空 \(tot\)。
