[十二省联考 2019] 异或粽子 题解

只能说相当套路的一道题目。

对于区间异或和，我们不妨先做一遍区间前缀异或和，记作 $sum_i$，表示 $a_1\sim a_i$ 的异或和，那么区间 $[l,r]$ 的异或和即可转化为 $sum_r \bigoplus sum_{l-1}$，那么我们呢只需对 $n+1$ 个数字进行考虑，⚠️注意还有 $sum_0=0$。

既然题目让我们求 $k$ 个粽子的最大值，那么我们不妨先求出第一大，再求出第二大，以此类推最后求出第 $k$ 大，然后将这些全部加起来即可。

总共有 $\rm O(n^2)$ 个组合，所以我们绝对不可能将所有的组合进行异或，这时不妨考虑另外一个套路：先搞出一个或几个必须选的，然后用这几个推出其他。

但是我们发现这题还有一个隐藏条件，选出来的 $i$ 和 $j$ 必须满足 $i\le j$，这就非常蛋疼，因为这不仅要求找出异或最大的，还要求满足位置上的一定需求。

所以我们不妨将 $k\times 2$，这样就可以放松这个条件，毕竟如果选了 $(1,2)$ 就必然会同时选上 $(2,1)$，最后再将答案除以 $2$ 即可。

现在来考虑如何求出必须选的，既然是异或和，那么肯定要用到 $01Trie$，可以求出对于 $x$ 找出最大的 $x\bigoplus sum_i$ 的值，这里不在赘述。对于每个位置，我们找到与其异或最大的，塞进堆里即可。

再来考虑如何通过一个值推出其他。显然，我们可以再先办法对于 $x$ 求出第 $k$ 大的总异或和，这样如果从堆里拿出一个排名为 $k$ 的数，我们在往堆里塞一个排名为 $k+1$ 的数字即可。

代码：

const int N=5e5+10,M=2e7;
int n,k;
LL a[N],sum[N];
int tot=1,tr[M][2],siz[M];
struct node {
    LL val; int id,rk;
    node(LL a,int b,int c) {
        val=a; id=b; rk=c;
    }
    friend bool operator < (node x,node y) {
        return x.val<y.val;
    }
};
priority_queue<node> q;
 
void ins(LL x) {
    int nd=1;
    for(int i=32;i>=0;i--) {
        int p=((x&(1ll<<i))!=0);
        siz[nd]++;
        if(tr[nd][p]) nd=tr[nd][p];
        else {tr[nd][p]=++tot; nd=tot;}
    }
    siz[nd]++;
}
 
LL find(LL x,int rk) {
    int nd=1; LL ans=0;
    for(int i=32;i>=0;i--) {
        int p=((x&(1ll<<i))!=0);
        if(!tr[nd][!p]) nd=tr[nd][p];
        else if(rk<=siz[tr[nd][!p]]) {nd=tr[nd][!p]; ans|=(1ll<<i);}
        else {rk-=siz[tr[nd][!p]]; nd=tr[nd][p];}
    }
    return ans;
}
 
int main() {
    n=read(); k=read(); k<<=1;
    ins(0);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        a[i]=read(); sum[i]=(sum[i-1]^a[i]); ins(sum[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        q.push({find(sum[i],1),i,1});
    }
    LL ans=0;
    q.push({find(sum[0],1),0,1});
    while(k) {
        auto t=q.top(); q.pop();
        ans=ans+t.val;
        q.push({find(sum[t.id],t.rk+1),t.id,t.rk+1});
        k--;
    }
    cout<<(ans/2);
    return 0;
}