题解 [CSP-S 2021] 括号序列

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对于括号题,基本是栈匹配没有匹配的左括号和区间 dp 两个方向。这道题括号序列并不确定,只能用区间 dp 搞。

如果直接设 fl,r 表示 lr 的合法括号序列,那么由区间 dp 的套路可知,需要枚举中间点进行合并,那么 ()()() 的情况就会出问题,原因是第一次将 ()()() 合并,第二次将 ()()() 进行合并,计算重复。

为了解决这个问题,我们规定只将 ()()() 进行合并,也就是先将括号序列分成两类,分别是 两边括号匹配,和两边括号不匹配,计作 f,g,那么合并时将 f 合并到 g 上即可。接下来推 dp 方程。

判断连续段能否被完全填充,可以采取前缀和的方式,若一段内 ?, 的总和等于段长且不超过给定数量。

左右括号能匹配的:

():长度为 2,将 fi,i+1+1 即可。
(S):若中间可以由连续的 填充,则将 fl,r+1
(SA):枚举 S 的断点 k,那么 fl,r=fk+1,r+gk+1,r
(AS):枚举 S 的断点,fl,r=fl,k1+gl,k1

左右括号不能匹配的:

AB:令 $B=f,枚举断点 k,那么 gl,r=(gl,k+fl,k)×fk+1,r

ASB:可以先处理出 B=fSB 数量,计作 h,然后用 h 更新 ggl,r=(fl,k+gl,k)×hk+1,r

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define PII pair<int,int>
LL read() {
LL sum=0,flag=1; char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') flag=-1; c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9') {sum=sum*10+c-'0'; c=getchar();}
return sum*flag;
}
const int N=510;
const LL MOD=1e9+7;
int n,m;
int sum[N];
string s;
LL f[N][N],g[N][N],h[N][N];
//合法,左右括号匹配,左右括号不匹配,SA的数量
int pd(int l,int r) {
if(sum[r]-sum[l-1]<=m&&sum[r]-sum[l-1]==r-l+1) return 1;
else return 0;
}
int check(int l,int r) {
if(s[l]=='('&&s[r]==')') return 1;
if(s[l]=='?'&&s[r]==')') return 1;
if(s[l]=='('&&s[r]=='?') return 1;
if(s[l]=='?'&&s[r]=='?') return 1;
return 0;
}
int main() {
cin>>n>>m;
cin>>s; s=" "+s;
for(int i=1;i<=n-1;i++) {
if(s[i]=='?'||s[i]=='*') sum[i]=sum[i-1]+1;
else sum[i]=sum[i-1];
if(check(i,i+1)) f[i][i+1]=1;
}
for(int len=3;len<=n;len++){
for(int i=1;i+len-1<=n;i++) {
int j=i+len-1;
if(check(i,j)) {
if(pd(i+1,j-1)) f[i][j]=(f[i][j]+1)%MOD;
for(int k=i+1;k<=j-1;k++) {
if(pd(i+1,k)) f[i][j]=(f[i][j]+f[k+1][j-1]+g[k+1][j-1])%MOD;
}
for(int k=j-1;k>=i+1;k--) {
if(pd(k,j-1)) f[i][j]=(f[i][j]+f[i+1][k-1]+g[i+1][k-1])%MOD;
}
f[i][j]=(f[i][j]+f[i+1][j-1]+g[i+1][j-1])%MOD;
}
for(int k=i;k<=j;k++) {
g[i][j]=(g[i][j]+(f[i][k]+g[i][k])*f[k+1][j])%MOD;
}
for(int k=i;k<=j;k++) {
if(pd(i,k)) h[i][j]=(h[i][j]+f[k+1][j])%MOD;
}
for(int k=i;k<=j;k++) {
g[i][j]=(g[i][j]+(g[i][k]+f[i][k])*h[k+1][j]%MOD)%MOD;
}
}
}
cout<<(f[1][n]+g[1][n])%MOD;
return 0;
}
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