对于树上信息维护的思考

在NOI大纲中，树链剖分作为NOI级算法，在NOIP中显然是不会出现的，但是我们仍然有办法利用 \(dfn\) 序等技巧，将某些特殊的信息维护转化为利用简单数据结构维护的情况。

树上前缀和

通常来讲，对于树上连续信息的查询，我们肯定要用到前缀和思想，即：设 \(d_u\) 表示节点 \(u\) 到根节点的信息，那么 \(x\sim y\) 路径的信息，分以下两种情况讨论：

边的信息
对于询问边的信息，\(d_u\) 表达的意思实际是 \(u\sim root\) 所有边的信息，所以我们查询 \(x\sim y\) 的信息，等价于：

\[ans=d_x+d_y-2\times d_{lca} \]

点的信息
对于询问点的信息，\(d_u\) 表达的意思实际是 \(u\sim root\) 所有点的信息，所以我们查询 \(x\sim y\) 的信息，等价于：

\[ans=d_x+d_y-d_{lca}-d_{fa_{lca}} \]

其实还有另外一种前缀和思想的应用，刚刚的做法是从上往下做前缀和，那么从下往上做前缀和也是可行的，即 \(d_u\) 表示 \(u\) 子树的和。这种方式在某些时候更利于转化在线。

值得注意的是，这种方法通常适用于维护差分数组的前缀和，也就是子树和实际上是某个点自己的信息。

在线改造

某些时候，题目会要求在线询问，在线修改。但如果不用树链剖分，这种询问显然是很单一的，即大概率是以下两种模型：

询问路径，修改单点
例题 [BJOI2014] 大融合
询问路径只能设 \(d_u\) 表示 \(u\sim root\) 的和。才能用上文的几个式子。

那么我们思考，假设在 \(u\) 加上 \(val\)，那么对于整棵树的 \(d\) 数组，有什么影响。

显然，\(u\) 及其子树都会加上 \(val\)，那么此时我们利用子树内的 \(dfn\) 序连续的特点，将子树加法转化到连续区间的加法上面，这个用树状数组结合差分维护即可。即维护差分数组 \(b\) ，\(b_u\) 及其子树和即表示 \(d_u\) 的值。

询问单点，修改路径
例题 [SCOI2015] 情报传递
由于是询问单点，我们不需要再用 \(d_u\) 表示 \(u\sim root\) 的值，可以考虑用 \(d_u\) 表示差分数组，那么我们要求出 \(u\) 的原始值就要求 \(u\) 的子树和（从下往上做前缀和）。

于是对于一个修改 \(x\sim y\) 加上 \(val\)，我们先将其转化为链的情况，即：\(lca\sim x,lca\sim y\)，将 \(d_x+val,d_{fa_{lca}}-val\) 即可，\(y\) 那边同理。也就是类似序列差分的形式，由于我们是从下往上做前缀和，所以我们就在下面加，上面的上面减。

对于求子树和的操作，还是 \(dfn\) 序加树状数组即可。

注意，由于我们将节点以其 \(dfn\) 序代替，所以注意在做的时候转化到 \(dfn\) 序上。