降维技巧

前缀和

前缀和用于解决连续询问区间和，并且中途不插入新数的一系列问题。

一维前缀和

以下是前缀和的预处理和查询：

预处理：

for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+a[i];

查询 $l\sim r$ 的和：

sum[r]-sum[l-1];

可以发现，预处理的时间复杂度是 $O(n)$，查询的时间复杂度是 $O(1)$。

例题：

• [NOIP2011 提高组] 聪明的质监员
  • 观察到式子中有 $\sum_{i=l}^{r}$ 的形式，在 $check$ 中使用前缀和先预处理，就可以 $O(n)$ $check$，总时间复杂度 $O(n\log n)$
• 最大子段和
• 最大加权矩形
  • 将二维压缩成一维，即可按照最大子段和的方式做。
• [USACO11MAR] Brownie Slicing G

上面讲的是一维前缀和，其实二维前缀和也是同理。

二维前缀和

设 $sum_{i,j}$ 表示以 $(1,1)$ 为左上角，$(i,j)$ 为右下角的矩形内所有数字的和，那么有容斥原理，有如下关系：

$$sum_{i,j}=sum_{i-1,j}+sum_{i,j-1}-sum_{i-1,j-1}+a_{i,j}$$

照上式，可以完成预处理。

查询也有如下关系：

int query(int x,int y,int c,int d) {//左上角(x,y),右下角(c,d)
	return sum[c][d]-sum[x-1][d]-sum[c][y-1]+sum[x-1][y-1];
}

同理，预处理 $O(nm)$，查询 $O(1)$。

例题：

• 领地选择
  • 板子题。

异或前缀和

快速查询区间异或和。

预处理：

for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=(sum[i-1]^a[i]);

查询：

sum[r]^sum[l-1];

提一嘴树上前缀和，其实这种东西通常与树上差分一起，单独很少出现。

树上点权前缀和

记 $sum_i$ 表示根节点到 $i$ 的前缀和，预处理跑一遍 $dfs$ 即可，查询如下：

int query(int x,int y) {
    return sum[x]+sum[y]-sum[lca]-sum[fa[lca]];
}

树上边权前缀和

首先将边权下放，除了查询其他同上。查询如下：

int query(int x,int y) {
    return sum[x]+sum[y]-2*sum[lca];
}

差分

差分是前缀和的逆运算，即差分数组的前缀和就是原数组，差分数组可用于快速处理区间加/减，然后一起查询，如果要边加边查询，就要借助树状数组等数据结构。

一维差分

差分数组的定义如下：

对于数组 $a$ ，$b$ 为其差分数组：

$$b_1=a_1\\ b_i=a_i-a_{i-1}(i>2)$$

例题：

• [NOIP2012 提高组] 借教室
• [USACO07MAR] Face The Right Way G
  • 需要将 $0,1$ 转化为奇偶，便于维护。

关于二次差分，指在差分数组上再进行一次差分。可以处理在区间上加等差数列的问题。

由于等差数列由首项，项数，公差组成，不难发现，在一次差分数组上加上首项，在二次差分数组上加上公差，最后从下往上进行前缀和即可计算。

题目：三步必杀

二维差分

快速处理矩形加/减。

将左上角是 $(x,y)$ 右下角是 $(c,d)$ 的矩形加上 $k$.

b[x][y]+=k;
b[c+1][d+1]+=k;
b[c+1][y]-=k;
b[x][d+1]-=k;

单点修改也是同理。

例题：

• 地毯

异或差分

将 $l\sim r$ 同时异或上一个数字 $x$.

diff[l]^=x;
diff[r+1]^=x;

单点修改同理。

例题：

• [USACO07MAR] Face The Right Way G
  • 奶牛转向，即可看做区间异或 $1$。

下面说说树上问题。

树上点权差分

在 $x,y$ 的最短路径上，将所有点加上 $k$.

diff[x]+=k;
diff[y]+=k;
diff[lca(x,y)]-=k;
diff[fa[lca(x,y)]]-=k;

在查询时做一遍树上前缀和即可。

例题：

• [JLOI2014] 松鼠的新家

树上边权差分

同样，将边权下放至点，再差分。

将 $x\sim y$ 上的所有边加 $k$。

diff[x]+=k;
diff[y]+=k;
diff[lca(x,y)]-=2*k;

例题：

• [USACO15DEC] Max Flow P
• [NOIP2015 提高组] 运输计划

双指针

双指针能解决的问题一定是能用两个 $for$ 循环嵌套解决的，所以发现题目能用两个 $for$ 循环解决的时，考虑双指针。

双指针维护一个前指针 $l$ 和一个后指针 $r$，当题目满足 $r$ 右移，$l$ 要么不动要么向右移时，说明双指针时可行的，也称作符合单调性。

代码模板：

• 越短越容易OK。

  int l=1;//左端点
  for(int i=1;i<=n;i++) {//右端点
      加上当前i的影响
      while(l<=i&&不满足条件) {
          将之前的l影响消除
          l++;
      }
      if(满足条件) 更新答案
  }

  在 唯一的雪花 Unique Snowflakes 中，便使用了上面的代码模板。

  int l=1,ans=0;
  for(int i=1;i<=n;i++) {
      b[a[i]]++;
      while(l+1<=i&&b[a[i]]>1) {
          b[a[l]]--;
          l++;
      }
      ans=max(ans,i-l+1);
  }

• 越长越容易OK。

  int r=0;//右端点
  for(int i=1;i<=n;i++) {//左端点
      if(i!=1) 减去i-1的影响
      while(r+1<=n&&不符合要求) {
          r++;
          加上r的贡献
      }
      if(满足要求) 更新答案
  }

  在[NOIP2011 提高组] 选择客栈 中，使用上述模板。

  int cnt=0;
  LL ans=0;
  for(int i=1,j=0;i<=n;i++) {
      if(i!=1&&b[i-1]<=p) cnt--;
      while(j+1<=n&&(cnt==0||i==j)) {
      	j++;
  		if(b[j]<=p) cnt++;
      }
      if(i!=j&&cnt!=0) ans+=(LL)s[j][a[i]];
  }
  cout<<ans;

单调队列

维护与 $i$ 保持固定距离范围的最值，维护最大值用单调递减，维护最小值用单调递增。

如果可以用单调队列维护，一定要满足，“比你小还比你强，你就退役”的说法。对于$\max_{i-x_j,i-y_j} a$ ，显然是不能用一个单调队列维护的，因为 $x,y$ 不止一个，所以距离 $i$ 的范围不等，不能用单调队列维护，但是可以对于每一个 $x,y$ ，开一个单调队列，这样就是可维护的。

通常用于 $dp$ 优化。

代码模板：

int l=1,r=0;
int n,m;
for(int i=1;i<=n;i++) {
    while(l<=r&&i-q[l]+1>m) l++; //将左端点不符合距离范围的去掉
    while(l<=r&&calc(i)>calc(q[r])) r--; //将末尾不符合单调性的去掉
    //单增还是单减，取决于上一句代码的 "<" 还是 ">"
    q[++r]=i;
    if(符合条件) 更新答案;
}

题目：

• 滑动窗口 /【模板】单调队列
• [SCOI2010] 股票交易
• [HAOI2007] 理想的正方形

单调栈

单调栈常用于求一个数左/右边第一个比他大/小的是谁。

可以用于维护每个点作为 $\max$ 或 $\min$ 所占据的区间，从而处理区间内关于 $\min,\max$ 的相关问题。

• T349092 D

也可以处理子矩形问题，只需向左右找到比自己小的，便可计算出包含自己且高度是自己的矩形宽。

• 直方图中最大的矩形
• 长方形

常见处理套路：对于左边求不包括等于的，对于右边求包括等于的，这样可以避免重复计算。

求左边还是右边，将for循环倒序即可。若求大于自己，维护单减序列；若求小于自己，维护单增序列。

代码模板（下面是求右边比自己大的下标）：

st.push(1);
for(int i=2;i<=n;i++) {
    while(st.size()&&a[i]>a[st.top()]) {
        b[st.top()]=i;
        st.pop();
    }
    st.push(i);
}